Kalkulus Contoh

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.4

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Langkah 1.5.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $24 x - 6 x^{2}$ dan $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Langkah 1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $- 12 x + 24$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.4

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Langkah 4.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Langkah 4.1.5.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Tambahkan $24 x - 6 x^{2}$ dan $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Langkah 4.1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Langkah 5.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5.3

Substitusikan nilai-nilai $a = - 6$ , $b = 24$ , dan $c = 6 y$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Naikkan $24$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.2.2

Kalikan $24$ dengan $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan $144$ dari $576 + 144 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.3.1

Faktorkan $144$ dari $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.3.2

Faktorkan $144$ dari $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.4

Tulis kembali $144 (4 + y)$ sebagai $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.4.1

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Naikkan $24$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.2.2

Kalikan $24$ dengan $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.3

Faktorkan $144$ dari $576 + 144 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.3.1

Faktorkan $144$ dari $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.3.2

Faktorkan $144$ dari $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.4

Tulis kembali $144 (4 + y)$ sebagai $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.4.1

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Langkah 5.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Naikkan $24$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.2.2

Kalikan $24$ dengan $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.3

Faktorkan $144$ dari $576 + 144 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.3.1

Faktorkan $144$ dari $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.3.2

Faktorkan $144$ dari $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.4

Tulis kembali $144 (4 + y)$ sebagai $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.4.1

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Langkah 5.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Langkah 5.6.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Langkah 5.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Langkah 9.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Langkah 9.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $- 24$ dan $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Langkah 9.2.2

Kurangi $12 \sqrt{4 + y}$ dengan $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11