Kalkulus Contoh

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 e^{x} - e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 2.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 e^{x} - e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 4.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 4.1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 4.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

Langkah 5.2.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$12 u - 2 u^{2} = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 u$ dari $12 u - 2 u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Faktorkan $2 u$ dari $12 u$ .

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

Langkah 5.2.3.2

Faktorkan $2 u$ dari $- 2 u^{2}$ .

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

Langkah 5.2.3.3

Faktorkan $2 u$ dari $2 u (6) + 2 u (- u)$ .

$2 u (6 - u) = 0$

Langkah 5.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Langkah 5.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 5.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 5.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5.5

Atur $6 - e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $6 - e^{x}$ sama dengan $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $6 - e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- e^{x} = - 6$

Langkah 5.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- e^{x} = - 6$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- e^{x} = - 6$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 5.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 5.5.2.2.2.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 5.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.3.1

Bagilah $- 6$ dengan $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Langkah 5.5.2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Langkah 5.5.2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Langkah 5.5.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Langkah 5.5.2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (6)$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ benar.

$x = \ln (6)$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \ln (6)$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \ln (6)$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $12$ dengan $6$ .

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan $2 (\ln (6))$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

Langkah 9.1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

Langkah 9.1.5

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$72 - 4 \cdot 36$

Langkah 9.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $36$ .

$72 - 144$

Langkah 9.2

Kurangi $144$ dengan $72$ .

$- 72$

Langkah 10

$x = \ln (6)$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \ln (6)$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \ln (6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\ln (6)$ pada pernyataan tersebut.

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $6$ .

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

Langkah 11.2.1.3

Sederhanakan $2 (\ln (6))$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

Langkah 11.2.1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

Langkah 11.2.1.5

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

Langkah 11.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

Langkah 11.2.2

Kurangi $36$ dengan $72$ .

$f (\ln (6)) = 36$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $36$ .

$y = 36$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ .

$(\ln (6), 36)$ adalah maksimum lokal

Langkah 13