Kalkulus Contoh

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $10 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x y$ terhadap $x$ adalah $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 1.4

Karena $- 5 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $10 y - 3 x^{2}$ dan $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- 3 x^{2} + 10 y$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{2} + 10 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $10 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $- 6 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $10 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x y$ terhadap $x$ adalah $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Langkah 4.1.4

Karena $- 5 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Tambahkan $10 y - 3 x^{2}$ dan $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Langkah 4.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 10 y$ .

$- 3 x^{2} + 10 y$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $10 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- 3 x^{2} = - 10 y$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x^{2} = - 10 y$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

Langkah 5.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.5.3.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 5.5.3.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 5.5.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.5.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.5.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.5.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.5.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.5.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.5.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 5.5.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

Langkah 5.5.4.2

Kalikan $3$ dengan $10$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 5.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 5.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 5.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Langkah 9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sqrt{30 y}$

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11