Kalkulus Contoh

$f (x) = 12 x - 20 \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x - 20 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 20 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$12 - 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$12 - 20 \frac{1}{x}$

Langkah 1.3.3

Gabungkan $- 20$ dan $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{- 20}{x}$

Langkah 1.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$12 - \frac{20}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{20}{x} + 12$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{20}{x} + 12$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20}{x}) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{20}{x}$ terhadap $x$ adalah $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 20 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 20$ .

$f'' (x) = 20 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 2.3

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{- 2} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $20$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $\frac{20}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{20}{x} + 12 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x - 20 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 20 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$12 - 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 4.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$12 - 20 \frac{1}{x}$

Langkah 4.1.3.3

Gabungkan $- 20$ dan $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{- 20}{x}$

Langkah 4.1.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$12 - \frac{20}{x}$

Langkah 4.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{20}{x} + 12$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{20}{x} + 12$ .

$- \frac{20}{x} + 12$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{20}{x} + 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{20}{x} + 12 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{20}{x} = - 12$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1$

Langkah 5.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{20}{x} = - 12$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{20}{x} = - 12$ dengan $x$ .

$- \frac{20}{x} x = - 12 x$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{20}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 20}{x} x = - 12 x$

Langkah 5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 20}{x} x = - 12 x$

Langkah 5.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 20 = - 12 x$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 12 x = - 20$ .

$- 12 x = - 20$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $- 12 x = - 20$ dengan $- 12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 12 x = - 20$ dengan $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 20}{- 12}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 20}{- 12}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 12}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $- 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 20$ .

$x = \frac{- 4 (5)}{- 12}$

Langkah 5.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Langkah 5.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Langkah 5.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{5}{3}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{20}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{5}{3}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{20}{{(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{3}$ .

$\frac{20}{\frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 9.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{20}{\frac{25}{3^{2}}}$

Langkah 9.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{20}{\frac{25}{9}}$

Langkah 9.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$20 (\frac{9}{25})$

Langkah 9.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $5$ dari $20$ .

$5 (4) \frac{9}{25}$

Langkah 9.3.2

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$5 \cdot 4 \frac{9}{5 \cdot 5}$

Langkah 9.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \cdot 4 \frac{9}{5 \cdot 5}$

Langkah 9.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{9}{5})$

Langkah 9.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{9}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 9}{5}$

Langkah 9.5

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\frac{36}{5}$

Langkah 10

$x = \frac{5}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5}{3}) = 12 (\frac{5}{3}) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$f (\frac{5}{3}) = 3 (4) (\frac{5}{3}) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Langkah 11.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{5}{3})) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Langkah 11.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5}{3}) = 4 \cdot 5 - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Langkah 11.2.1.3

Sederhanakan $- 20 \ln (\frac{5}{3})$ dengan memindahkan $20$ ke dalam logaritma.

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln ({(\frac{5}{3})}^{20})$

Langkah 11.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{5^{20}}{3^{20}})$

Langkah 11.2.1.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $20$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3^{20}})$

Langkah 11.2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $20$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$ .

$y = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 12 x - 20 \ln (x)$ .

$(\frac{5}{3}, 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401}))$ adalah minimum lokal

Langkah 13