Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Langkah 1.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Langkah 1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Langkah 1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Langkah 1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Langkah 1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Langkah 1.2

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{8}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $\frac{2}{8}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Langkah 1.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{4}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x}{4} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Langkah 4.1.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Langkah 4.1.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Langkah 4.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Langkah 4.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Langkah 4.1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Langkah 4.1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{8}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Langkah 4.1.4.2

Gabungkan $\frac{2}{8}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Langkah 4.1.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Langkah 4.1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Langkah 4.1.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Langkah 4.1.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{4}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x}{4}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{4} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{4}$

Langkah 9

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 10

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 10.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Langkah 10.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 10.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 11

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$(0, 0)$ adalah minimum lokal

Langkah 12