Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{5} - 5 x^{2} + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} - 5 x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 x^{4} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$5 x^{4} - 10 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 x^{4} - 10 x + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $5 x^{4} - 10 x$ dan $0$ .

$5 x^{4} - 10 x$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{4} - 10 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 10 x)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 10 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 10$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$5 x^{4} - 10 x = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} - 5 x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 x^{4} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$5 x^{4} - 10 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 x^{4} - 10 x + 0$

Langkah 4.1.3.2

Tambahkan $5 x^{4} - 10 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 x$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 x^{4} - 10 x$ .

$5 x^{4} - 10 x$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 x^{4} - 10 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 x^{4} - 10 x = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $5 x$ dari $5 x^{4} - 10 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $5 x$ dari $5 x^{4}$ .

$5 x (x^{3}) - 10 x = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $5 x$ dari $- 10 x$ .

$5 x (x^{3}) + 5 x (- 2) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $5 x$ dari $5 x (x^{3}) + 5 x (- 2)$ .

$5 x (x^{3} - 2) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x^{3} - 2 = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $x^{3} - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $x^{3} - 2$ sama dengan $0$ .

$x^{3} - 2 = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $x^{3} - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} = 2$

Langkah 5.5.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{2}$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $5 x (x^{3} - 2) = 0$ benar.

$x = 0, \sqrt[3]{2}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, \sqrt[3]{2}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$20 {(0)}^{3} - 10$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$20 \cdot 0 - 10$

Langkah 9.1.2

Kalikan $20$ dengan $0$ .

$0 - 10$

Langkah 9.2

Kurangi $10$ dengan $0$ .

$- 10$

Langkah 10

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 11.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \sqrt[3]{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$20 {(\sqrt[3]{2})}^{3} - 10$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$20 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3} - 10$

Langkah 13.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 10$

Langkah 13.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$20 \cdot 2^{\frac{3}{3}} - 10$

Langkah 13.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$20 \cdot 2^{\frac{3}{3}} - 10$

Langkah 13.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$20 \cdot 2^{1} - 10$

Langkah 13.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$20 \cdot 2 - 10$

Langkah 13.1.2

Kalikan $20$ dengan $2$ .

$40 - 10$

Langkah 13.2

Kurangi $10$ dengan $40$ .

$30$

Langkah 14

$x = \sqrt[3]{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \sqrt[3]{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \sqrt[3]{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt[3]{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt[3]{2}) = {(\sqrt[3]{2})}^{5} - 5 {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 1$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{5}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{5}}$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2^{5}} - 5 {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 1$

Langkah 15.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{32} - 5 {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 1$

Langkah 15.2.1.3

Tulis kembali $32$ sebagai $2^{3} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.3.1

Faktorkan $8$ dari $32$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{8 (4)} - 5 {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 1$

Langkah 15.2.1.3.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 4} - 5 {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 1$

Langkah 15.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f (\sqrt[3]{2}) = 2 \sqrt[3]{4} - 5 {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 1$

Langkah 15.2.1.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = 2 \sqrt[3]{4} - 5 \sqrt[3]{2^{2}} + 1$

Langkah 15.2.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = 2 \sqrt[3]{4} - 5 \sqrt[3]{4} + 1$

Langkah 15.2.2

Kurangi $5 \sqrt[3]{4}$ dengan $2 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\sqrt[3]{2}) = - 3 \sqrt[3]{4} + 1$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3 \sqrt[3]{4} + 1$ .

$y = - 3 \sqrt[3]{4} + 1$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{5} - 5 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ adalah maksimum lokal

$(\sqrt[3]{2}, - 3 \sqrt[3]{4} + 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 17