Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 64 x$ terhadap $x$ adalah $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 64$ dengan $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $96$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $96 x$ terhadap $x$ adalah $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.4.3

Kalikan $96$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 64$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $12 x^{2} - 72 x + 96$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Langkah 4.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $- 64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 64 x$ terhadap $x$ adalah $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Langkah 4.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Langkah 4.1.4.3

Kalikan $- 64$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan $4$ dari $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Langkah 5.2.1.4

Faktorkan $4$ dari $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Langkah 5.2.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Langkah 5.2.1.6

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Langkah 5.2.1.7

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Langkah 5.2.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Langkah 5.2.2.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Langkah 5.2.2.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Langkah 5.2.2.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Langkah 5.2.2.3.4

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Langkah 5.2.2.3.5

Kurangi $9$ dengan $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Langkah 5.2.2.3.6

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Langkah 5.2.2.3.7

Tambahkan $- 8$ dan $24$ .

$16 - 16$

Langkah 5.2.2.3.8

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$0$

Langkah 5.2.2.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Langkah 5.2.2.5

Bagilah $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Langkah 5.2.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Langkah 5.2.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 5.2.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 5.2.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Langkah 5.2.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 5.2.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 8 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 5.2.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Langkah 5.2.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 5.2.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Langkah 5.2.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Langkah 5.2.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $16 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Langkah 5.2.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Langkah 5.2.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Langkah 5.2.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Langkah 5.2.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 8 x + 16$

Langkah 5.2.2.6

Tulis $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ sebagai himpunan faktor.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Langkah 5.2.3.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Langkah 5.2.3.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Langkah 5.2.3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Langkah 5.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 5.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5.5

Atur ${(x - 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur ${(x - 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan ${(x - 4)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 5.5.2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ benar.

$x = 1, 4$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1, 4$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Langkah 9.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 72$ dengan $1$ .

$12 - 72 + 96$

Langkah 9.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangi $72$ dengan $12$ .

$- 60 + 96$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 60$ dan $96$ .

$36$

Langkah 10

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Langkah 11.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Langkah 11.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Langkah 11.2.1.5

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Langkah 11.2.1.6

Kalikan $- 64$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kurangi $12$ dengan $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $- 11$ dan $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Langkah 11.2.2.3

Kurangi $64$ dengan $37$ .

$f (1) = - 27$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 27$ .

$y = - 27$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 4$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Langkah 13.1.2

Kalikan $12$ dengan $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Langkah 13.1.3

Kalikan $- 72$ dengan $4$ .

$192 - 288 + 96$

Langkah 13.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kurangi $288$ dengan $192$ .

$- 96 + 96$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $- 96$ dan $96$ .

$0$

Langkah 14

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 14.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, 1)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Langkah 14.2.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Langkah 14.2.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Langkah 14.2.2.1.4

Kalikan $- 36$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Langkah 14.2.2.1.5

Kalikan $96$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Langkah 14.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Langkah 14.2.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Langkah 14.2.2.2.3

Kurangi $64$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 64$

Langkah 14.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 64$ .

$- 64$

Langkah 14.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(1, 4)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Langkah 14.3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Langkah 14.3.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Langkah 14.3.2.1.4

Kalikan $- 36$ dengan $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Langkah 14.3.2.1.5

Kalikan $96$ dengan $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Langkah 14.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.2.1

Kurangi $144$ dengan $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Langkah 14.3.2.2.2

Tambahkan $- 112$ dan $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Langkah 14.3.2.2.3

Kurangi $64$ dengan $80$ .

$f' (2) = 16$

Langkah 14.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $16$ .

$16$

Langkah 14.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $6$ , dari interval $(4, \infty)$ dalam turunan pertama $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Langkah 14.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Langkah 14.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Langkah 14.4.2.1.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Langkah 14.4.2.1.4

Kalikan $- 36$ dengan $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Langkah 14.4.2.1.5

Kalikan $96$ dengan $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Langkah 14.4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.2.1

Kurangi $1296$ dengan $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Langkah 14.4.2.2.2

Tambahkan $- 432$ dan $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Langkah 14.4.2.2.3

Kurangi $64$ dengan $144$ .

$f' (6) = 80$

Langkah 14.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $80$ .

$80$

Langkah 14.5

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 1$ , maka $x = 1$ adalah minimum lokal.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 14.6

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 4$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 14.7

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 15