Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Langkah 1.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Langkah 1.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.9.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.12

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.13

Kalikan $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ dengan $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.14

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.15

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.16

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.17

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.18

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.18.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.5.18.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 1.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Langkah 1.6.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.6.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.6.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.6.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Langkah 1.6.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Langkah 1.6.8

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Langkah 1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Langkah 1.7.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Langkah 1.7.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Langkah 1.7.3

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ sebagai ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.8

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.8.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.9

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.10

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.12.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.14

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.15

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.16

Kalikan $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.17

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.18

Gabungkan $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.19

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.20

Kalikan ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ dengan ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.20.1

Pindahkan ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.20.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.20.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.20.4

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.21

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.22

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.3.23

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Langkah 4.1.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Langkah 4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Langkah 4.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 4.1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 4.1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 4.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 4.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Langkah 4.1.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.9.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.12

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.13

Kalikan $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ dengan $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.14

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.15

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.16

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.17

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.18

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.18.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.5.18.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 4.1.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Langkah 4.1.6.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.1.6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.1.6.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.1.6.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.1.6.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Langkah 4.1.6.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Langkah 4.1.6.8

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Langkah 4.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Langkah 4.1.7.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Langkah 4.1.7.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Langkah 4.1.7.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Langkah 5.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = 0, 2$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x - 1 = 0^{3}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 6.3.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, 2, 1$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.1.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 9.1.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 9.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 9.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

Langkah 9.1.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Langkah 9.2

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 9.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Langkah 9.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Langkah 9.5.2

Kurangi $4$ dengan $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Langkah 9.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16}{3}$

Langkah 10

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.6

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.7

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

Langkah 11.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

Langkah 11.2.1.9

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (0) = 6 - 2$

Langkah 11.2.2

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$f (0) = 4$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 13.1.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Langkah 13.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Langkah 13.2

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 13.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Langkah 13.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Langkah 13.5.2

Kurangi $4$ dengan $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Langkah 13.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16}{3}$

Langkah 14

$x = 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Langkah 15.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Langkah 15.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Langkah 15.2.1.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

Langkah 15.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

Langkah 15.2.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (2) = 6 - 2$

Langkah 15.2.2

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$f (2) = 4$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 17.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 17.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 17.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Langkah 17.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

Langkah 17.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

Langkah 17.3.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$- 4 - \frac{4}{0}$

Langkah 17.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- 4 - \frac{4}{0}$

Langkah 17.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 18

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 18.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.2.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.2.2.2

Tambahkan $8$ dan $4$ .

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 18.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 18.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0.5$ , dari interval $(0, 1)$ dalam turunan pertama $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.3.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.3.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $4$ .

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 18.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 18.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $1.5$ , dari interval $(1, 2)$ dalam turunan pertama $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.4.2.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.2.1.2.1

Kurangi $1$ dengan $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.4.2.1.2.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

Langkah 18.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $0.79370052$ .

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

Langkah 18.4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.2.2.1

Tambahkan $- 6$ dan $5.03968419$ .

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

Langkah 18.4.2.2.2

Tambahkan $- 0.9603158$ dan $4$ .

$f' (1.5) = 3.03968419$

Langkah 18.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3.03968419$ .

$3.03968419$

Langkah 18.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(2, \infty)$ dalam turunan pertama $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.2.1.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.5.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

Langkah 18.5.2.2

Tambahkan $- 16$ dan $4$ .

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 18.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 18.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 18.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 1$ , maka $x = 1$ adalah minimum lokal.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 18.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 2$ , maka $x = 2$ adalah maksimum lokal.

$x = 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 18.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = 1$ adalah minimum lokal

$x = 2$ adalah maksimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = 1$ adalah minimum lokal

$x = 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 19