Kalkulus Contoh

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 1.3.7

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 x + 16 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.3

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Langkah 4

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 0.51493326$

Langkah 5

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 0.51493326$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Langkah 6

Kalikan $2$ dengan $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Langkah 7

$x = - 0.51493326$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 0.51493326$ adalah minimum lokal

Langkah 8

Tentukan nilai y ketika $x = - 0.51493326$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.51493326$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $- 0.51493326$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $2.12125013$ dan $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Langkah 9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ adalah minimum lokal

Langkah 10