Kalkulus Contoh

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $8 \sqrt{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \sqrt{3} \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $8 \sqrt{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \sqrt{3} \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5.2

Bagilah $8 \sqrt{3}$ dengan $1$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 6

Pisahkan pecahan.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 7

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 9

Pisahkan pecahan.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 11

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Langkah 12

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

Langkah 13

Kurangkan $8 \sqrt{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

Langkah 14

Bagi setiap suku pada $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagilah setiap suku di $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ dengan $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Langkah 14.2.1.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Langkah 14.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.1

Faktorkan $8$ dari $- 8 \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

Langkah 14.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.2.1

Faktorkan $8$ dari $8$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

Langkah 14.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

Langkah 14.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Langkah 14.3.1.2.4

Bagilah $- \sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Langkah 15

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Langkah 16

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Nilai eksak dari $\arctan (- \sqrt{3})$ adalah $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Langkah 17

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Langkah 18

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Langkah 18.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{2 π}{3}$ positif dan koterminal dengan $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 19

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Langkah 20

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.6

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.7

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.10

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.10.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.10.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.10.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.10.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.10.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.10.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.10.5

Evaluasi eksponennya.

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.11

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 21.1.12

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 21.1.13

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 21.1.14

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

Langkah 21.1.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.15.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

Langkah 21.1.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Langkah 21.1.15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 + 4$

Langkah 21.2

Tambahkan $12$ dan $4$ .

$16$

Langkah 22

$x = - \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 23

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.6

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.7

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.10

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.10.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.10.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.10.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.10.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.10.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.10.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.10.5

Evaluasi eksponennya.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.11

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.12

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Langkah 23.2.1.13

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 23.2.1.14

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

Langkah 23.2.1.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.15.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

Langkah 23.2.1.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

Langkah 23.2.1.15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

Langkah 23.2.2

Kurangi $4$ dengan $- 12$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

Langkah 23.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 16$ .

$y = - 16$

Langkah 24

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{2 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.4

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.5

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.8

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.8.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.8.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.8.5

Evaluasi eksponennya.

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.9

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 25.1.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Langkah 25.1.11

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

Langkah 25.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.12.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 25.1.12.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Langkah 25.1.12.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Langkah 25.1.12.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 12 + 4 \cdot - 1$

Langkah 25.1.13

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 12 - 4$

Langkah 25.2

Kurangi $4$ dengan $- 12$ .

$- 16$

Langkah 26

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 27

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.4

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.5

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.8

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.8.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.8.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.8.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.9

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 27.2.1.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Langkah 27.2.1.11

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

Langkah 27.2.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.12.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 27.2.1.12.2

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 27.2.1.12.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 27.2.1.12.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

Langkah 27.2.1.13

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

Langkah 27.2.2

Tambahkan $12$ dan $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

Langkah 27.2.3

Jawaban akhirnya adalah $16$ .

$y = 16$

Langkah 28

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ adalah minimum lokal

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ adalah maksimum lokal

Langkah 29