Kalkulus Contoh

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \cos^{4} (x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.3

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Langkah 1.5

Kalikan $- 1$ dengan $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos^{3} (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Langkah 2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Langkah 2.4

Kalikan $\cos^{3} (x)$ dengan $\cos (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $\cos^{3} (x)$ dengan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Langkah 2.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Langkah 2.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Langkah 2.8

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Langkah 2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Langkah 2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Langkah 2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Langkah 2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Langkah 2.13.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Langkah 2.13.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Langkah 5

Atur $\cos^{3} (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos^{3} (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos^{3} (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\cos (x) = 0$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 5.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 6

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 6.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.3

Kalikan $96$ dengan $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Langkah 9.1.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Langkah 9.1.9

Kalikan $- 32$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 9.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 10

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Langkah 10.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Evaluasi $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Langkah 10.2.2.2

Naikkan $- 0.41614683$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Langkah 10.2.2.3

Kalikan $- 32$ dengan $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Langkah 10.2.2.4

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Langkah 10.2.2.5

Kalikan $2.30616178$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Langkah 10.2.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Langkah 10.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $1$ , dari interval $(0, \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Evaluasi $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Langkah 10.3.2.2

Naikkan $0.5403023$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Langkah 10.3.2.3

Kalikan $- 32$ dengan $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Langkah 10.3.2.4

Evaluasi $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Langkah 10.3.2.5

Kalikan $- 5.04731536$ dengan $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Langkah 10.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Langkah 10.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(\frac{π}{2}, π)$ dalam turunan pertama $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Langkah 10.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1

Evaluasi $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Langkah 10.4.2.2

Naikkan $- 0.41614683$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Langkah 10.4.2.3

Kalikan $- 32$ dengan $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Langkah 10.4.2.4

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Langkah 10.4.2.5

Kalikan $2.30616178$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Langkah 10.4.2.6

Jawaban akhirnya adalah $2.09698697$ .

$2.09698697$

Langkah 10.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(π, \frac{3 π}{2})$ dalam turunan pertama $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Evaluasi $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Langkah 10.5.2.2

Naikkan $- 0.65364362$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $- 32$ dengan $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Langkah 10.5.2.4

Evaluasi $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Langkah 10.5.2.5

Kalikan $8.93661523$ dengan $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Langkah 10.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Langkah 10.6

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $7$ , dari interval $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dalam turunan pertama $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Langkah 10.6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.2.1

Evaluasi $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Langkah 10.6.2.2

Naikkan $0.75390225$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Langkah 10.6.2.3

Kalikan $- 32$ dengan $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Langkah 10.6.2.4

Evaluasi $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Langkah 10.6.2.5

Kalikan $- 13.71182002$ dengan $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Langkah 10.6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Langkah 10.7

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 10.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = \frac{π}{2}$ , maka $x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 10.9

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = π$ , maka $x = π$ adalah maksimum lokal.

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 10.10

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = \frac{3 π}{2}$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 10.11

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = π$ adalah maksimum lokal

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 11