Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Langkah 2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan $4 \sin (x)$ dari $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 6

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 6.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 7

Atur $\cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 7.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 7.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 7.2.6

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 0, π, 2 π$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Langkah 10.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Langkah 10.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Langkah 10.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Langkah 10.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Langkah 10.1.7

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Langkah 10.1.8

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$4 + 0 - 4$

Langkah 10.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4 - 4$

Langkah 10.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$0$

Langkah 11

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Langkah 11.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1.1

Evaluasi $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Langkah 11.2.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Langkah 11.2.2.1.3

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Langkah 11.2.2.1.4

Kalikan $- 1.66458734$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Langkah 11.2.2.1.5

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Langkah 11.2.2.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $1.51360499$ dan $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Langkah 11.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5.15079469$ .

$5.15079469$

Langkah 11.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, π)$ dalam turunan pertama $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.1

Evaluasi $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Langkah 11.3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Langkah 11.3.2.1.3

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Langkah 11.3.2.1.4

Kalikan $- 1.66458734$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Langkah 11.3.2.1.5

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Langkah 11.3.2.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Langkah 11.3.2.2

Kurangi $3.6371897$ dengan $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Langkah 11.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Langkah 11.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $5$ , dari interval $(π, 2 π)$ dalam turunan pertama $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Langkah 11.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1.1

Evaluasi $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Langkah 11.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Langkah 11.4.2.1.3

Evaluasi $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Langkah 11.4.2.1.4

Kalikan $1.13464874$ dengan $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Langkah 11.4.2.1.5

Evaluasi $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Langkah 11.4.2.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Langkah 11.4.2.2

Tambahkan $- 1.08804222$ dan $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Langkah 11.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.74765487$ .

$2.74765487$

Langkah 11.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $9$ , dari interval $(2 π, \infty)$ dalam turunan pertama $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Langkah 11.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1.1

Evaluasi $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Langkah 11.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Langkah 11.5.2.1.3

Evaluasi $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Langkah 11.5.2.1.4

Kalikan $- 3.64452104$ dengan $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Langkah 11.5.2.1.5

Evaluasi $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Langkah 11.5.2.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Langkah 11.5.2.2

Kurangi $1.64847394$ dengan $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Langkah 11.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Langkah 11.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = π$ , maka $x = π$ adalah minimum lokal.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 11.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 2 π$ , maka $x = 2 π$ adalah maksimum lokal.

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

Langkah 11.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = π$ adalah minimum lokal

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = π$ adalah minimum lokal

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

Langkah 12