Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{3}}$ sebagai $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.7.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.10

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.11

Faktorkan $2$ dari $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.12.4

Bagilah $6 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $6 x^{\frac{1}{2}}$ dan $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 2.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 2.9

Gabungkan $6$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 2.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{3}}$ sebagai $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.7.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.9

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.10

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.11

Faktorkan $2$ dari $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.12.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.2.12.4

Bagilah $6 x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Langkah 4.1.3.2

Tambahkan $6 x^{\frac{1}{2}}$ dan $0$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ dengan $6$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 5.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 5.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 5.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 5.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 5.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{2}$

Langkah 5.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$6 \sqrt{x^{1}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$6 \sqrt{x}$

Langkah 6.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x < 0$

Langkah 6.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{0^{1}}$

Langkah 9.3

Evaluasi eksponennya.

$\frac{3}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11