Kalkulus Contoh

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4.1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4.1 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1.6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1.6 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4.1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4.1 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $1.6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1.6 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5.2

Bagilah $4.1$ dengan $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 6

Pisahkan pecahan.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 7

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8

Bagilah $1.6$ dengan $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 9

Pisahkan pecahan.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 11

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Langkah 12

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Langkah 13

Kurangkan $4.1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Langkah 14

Bagi setiap suku pada $1.6 \tan (x) = - 4.1$ dengan $1.6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagilah setiap suku di $1.6 \tan (x) = - 4.1$ dengan $1.6$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1.6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Langkah 14.2.1.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Langkah 14.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Bagilah $- 4.1$ dengan $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Langkah 15

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Langkah 16

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Langkah 17

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Langkah 18

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Tambahkan $2 π$ ke $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Langkah 18.2

Sudut yang dihasilkan dari $1.94286408$ positif dan koterminal dengan $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = 1.94286408$

Langkah 19

Penyelesaian untuk persamaan $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Langkah 20

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1.19872856$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Langkah 21

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.1

Kalikan $- 4.1$ dengan $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Langkah 21.1.2

Kalikan $1.6$ dengan $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Langkah 21.2

Tambahkan $3.81946823$ dan $0.58166797$ .

$4.40113621$

Langkah 22

$x = - 1.19872856$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1.19872856$ adalah minimum lokal

Langkah 23

Tentukan nilai y ketika $x = - 1.19872856$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.19872856$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Langkah 23.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.1

Kalikan $4.1$ dengan $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Langkah 23.2.1.2

Kalikan $- 1.6$ dengan $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Langkah 23.2.2

Kurangi $0.58166797$ dengan $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Langkah 23.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Langkah 24

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1.94286408$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Langkah 25

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1.1

Kalikan $- 4.1$ dengan $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Langkah 25.1.2

Kalikan $1.6$ dengan $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Langkah 25.2

Kurangi $0.58166797$ dengan $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Langkah 26

$x = 1.94286408$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1.94286408$ adalah maksimum lokal

Langkah 27

Tentukan nilai y ketika $x = 1.94286408$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.94286408$ pada pernyataan tersebut.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Langkah 27.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.1

Kalikan $4.1$ dengan $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Langkah 27.2.1.2

Kalikan $- 1.6$ dengan $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Langkah 27.2.2

Tambahkan $3.81946823$ dan $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Langkah 27.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Langkah 28

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ adalah minimum lokal

$(1.94286408, 4.40113621)$ adalah maksimum lokal

Langkah 29