Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x - \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{x} + 3$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{x} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.6

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $x^{- 2}$ dan $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 4.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Langkah 4.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 3$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x} + 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x} + 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{1}{x} = - 3$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1$

Langkah 5.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x} = - 3$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x} = - 3$ dengan $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Langkah 5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Langkah 5.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - 3 x$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $- 3 x = - 1$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x = - 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 9.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{\frac{1}{3^{2}}}$

Langkah 9.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}}$

Langkah 9.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 \cdot 9$

Langkah 9.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9$

Langkah 10

$x = \frac{1}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Langkah 11.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 - \ln (\frac{1}{3})$ .

$y = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 x - \ln (x)$ .

$(\frac{1}{3}, 1 - \ln (\frac{1}{3}))$ adalah minimum lokal

Langkah 13