Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \csc (4 x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \csc (x)$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\csc (u)$ terhadap $u$ adalah $- \csc (u) \cot (u)$ .

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Langkah 1.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

Langkah 1.3.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ .

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cot (4 x)$ dan $g (x) = \csc (4 x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \csc (x)$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\csc (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.4

Naikkan $\cot (4 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.5

Naikkan $\cot (4 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.7.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.7.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.7.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.7.5

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Langkah 2.8.2

Turunan dari $\cot (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Langkah 2.8.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Langkah 2.9

Naikkan $\csc (4 x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Langkah 2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

Langkah 2.11

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Langkah 2.12

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.13

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

Langkah 2.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

Langkah 2.15

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

Langkah 2.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Langkah 2.16.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Langkah 2.16.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 12$ .

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Langkah 2.16.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

Langkah 5

Atur $\cot (4 x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cot (4 x)$ sama dengan $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cot (4 x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$4 x = arccot (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $arccot (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.3

Bagi setiap suku pada $4 x = \frac{π}{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x = \frac{π}{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Langkah 5.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Langkah 5.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.3.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Langkah 5.2.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Langkah 5.2.4

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.5.1.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.5.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Langkah 5.2.5.1.4

Tambahkan $π \cdot 2$ dan $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1.4.1

Susun kembali $π$ dan $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Langkah 5.2.5.1.4.2

Tambahkan $2 \cdot π$ dan $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Langkah 5.2.5.2

Bagi setiap suku pada $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Langkah 5.2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Langkah 5.2.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Langkah 5.2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.5.2.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Langkah 5.2.5.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Langkah 5.2.6

Penyelesaian untuk persamaan $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Langkah 6

Atur $\csc (4 x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\csc (4 x)$ sama dengan $0$ .

$\csc (4 x) = 0$

Langkah 6.2

Jangkauan dari kosekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.4

Kalikan $48$ dengan $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.6

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.7

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 9.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.8.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

Langkah 9.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Langkah 9.1.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.9

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

Langkah 9.1.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 + 48 \cdot 1$

Langkah 9.1.11

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$0 + 48$

Langkah 9.2

Tambahkan $0$ dan $48$ .

$48$

Langkah 10

$x = \frac{π}{8}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{8}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

Langkah 11.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

Langkah 11.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 11.2.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

Langkah 11.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3$

Langkah 11.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kotangen negatif di kuadran keempat.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.3

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.6

Kalikan $48$ dengan $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.8

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.9

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.10

Kalikan $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.10.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 13.1.11

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.11.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

Langkah 13.1.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

Langkah 13.1.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.12

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Langkah 13.1.13

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Langkah 13.1.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

Langkah 13.1.15

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 + 48 \cdot - 1$

Langkah 13.1.16

Kalikan $48$ dengan $- 1$ .

$0 - 48$

Langkah 13.2

Kurangi $48$ dengan $0$ .

$- 48$

Langkah 14

$x = \frac{3 π}{8}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{8}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

Langkah 15.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

Langkah 15.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Langkah 15.2.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.2.4

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

Langkah 15.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

Langkah 15.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$y = - 3$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 \csc (4 x)$ .

$(\frac{π}{8}, 3)$ adalah minimum lokal

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ adalah maksimum lokal

Langkah 17