Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Langkah 1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 1.4.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Langkah 1.4.2.3

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Langkah 1.4.3

Susun kembali $\cos^{2} (x)$ dan $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Langkah 1.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Langkah 1.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Langkah 1.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Langkah 1.4.7

Tulis kembali $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ sebagai $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Langkah 1.4.8

Terapkan identitas pythagoras.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Langkah 1.4.9

Kalikan $\sin (x)$ dengan $\sin^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.9.1

Pindahkan $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Langkah 1.4.9.2

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.9.2.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Langkah 1.4.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Langkah 1.4.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Langkah 1.4.10

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \sin^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 2.3

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Langkah 2.4

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\sin^{3} (x)$ dengan $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Langkah 5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Langkah 6

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 6.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\sin (x) = 0$

Langkah 7

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 9

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 10

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Langkah 13.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Langkah 13.3

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$0 \cos (0)$

Langkah 13.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1$

Langkah 13.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 14

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Langkah 14.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 3 \sin^{3} (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Langkah 14.2.2.2

Naikkan $- 0.90929742$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Langkah 14.2.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Langkah 14.2.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2.25548083$ .

$2.25548083$

Langkah 14.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, π)$ dalam turunan pertama $- 3 \sin^{3} (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Langkah 14.3.2.2

Naikkan $0.90929742$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Langkah 14.3.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Langkah 14.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Langkah 14.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $6$ , dari interval $(π, \infty)$ dalam turunan pertama $- 3 \sin^{3} (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Langkah 14.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Evaluasi $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Langkah 14.4.2.2

Naikkan $- 0.27941549$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Langkah 14.4.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Langkah 14.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0.06544443$ .

$0.06544443$

Langkah 14.5

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 14.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = π$ , maka $x = π$ adalah minimum lokal.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 14.7

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = π$ adalah minimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 15