Kalkulus Contoh

$f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \ln (2 x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $\frac{1}{2 x}$ dan $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Langkah 1.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Langkah 1.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Langkah 1.3.8

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{6}{x} - 3$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{6}{x} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{6}{x}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Langkah 2.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 0$

Langkah 2.4.2.3

Tambahkan $- \frac{6}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \ln (2 x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.1.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 4.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 4.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Langkah 4.1.3.6

Gabungkan $\frac{1}{2 x}$ dan $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Langkah 4.1.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Langkah 4.1.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Langkah 4.1.3.8

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Langkah 4.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{6}{x} - 3$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{6}{x} - 3$ .

$\frac{6}{x} - 3$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{6}{x} - 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{6}{x} = 3$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1$

Langkah 5.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{6}{x} = 3$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{6}{x} = 3$ dengan $x$ .

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 = 3 x$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 x = 6$ .

$3 x = 6$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 6$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 6$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Bagilah $6$ dengan $3$ .

$x = 2$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{6}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 2$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{6}{{(2)}^{2}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Langkah 9.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Langkah 9.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2}$

Langkah 10

$x = 2$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = - 3 \cdot 2 + 6 \ln (2 (2))$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (2 (2))$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (4)$

Langkah 11.2.1.3

Sederhanakan $6 \ln (4)$ dengan memindahkan $6$ ke dalam logaritma.

$f (2) = - 6 + \ln (4^{6})$

Langkah 11.2.1.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $6$ .

$f (2) = - 6 + \ln (4096)$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 6 + \ln (4096)$ .

$y = - 6 + \ln (4096)$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$ .

$(2, - 6 + \ln (4096))$ adalah maksimum lokal

Langkah 13