Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{\frac{5}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.7

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.9

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.10

Faktorkan $2$ dari $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.11.4

Bagilah $5 x^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Langkah 2.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Langkah 2.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2.3.7

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $5$ dan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Langkah 2.3.9

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{\frac{5}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.7

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.10

Faktorkan $2$ dari $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.11.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.11.4

Bagilah $5 x^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Langkah 4.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $- x$ dari $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $- x$ dari $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $- x$ dari $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $- x$ dari $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ sama dengan $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Langkah 5.5.2.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1.1

Sederhanakan ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3.1.1.2

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3.1.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3.1.1.4

Sederhanakan.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.5.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$25 x = 4$

Langkah 5.5.2.4

Bagi setiap suku pada $25 x = 4$ dengan $25$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.4.1

Bagilah setiap suku di $25 x = 4$ dengan $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Langkah 5.5.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Langkah 5.5.2.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Langkah 6.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{3}}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} < 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < \sqrt[3]{0}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < 0$

Langkah 6.4

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 9.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Langkah 9.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Langkah 9.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Langkah 9.1.1.4

Evaluasi eksponennya.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $15$ dengan $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Langkah 9.1.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$- 2 + 0$

Langkah 9.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$- 2$

Langkah 10

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Langkah 11.2.1.6

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Langkah 11.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{4}{25}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.2.4

Evaluasi eksponennya.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Langkah 13.1.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Langkah 13.1.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Langkah 13.1.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Langkah 13.1.1.3.4

Evaluasi eksponennya.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Langkah 13.1.2

Gabungkan $15$ dan $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Langkah 13.1.3

Kalikan $15$ dengan $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Langkah 13.1.4

Bagilah $30$ dengan $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Langkah 13.1.5

Bagilah $6$ dengan $2$ .

$- 2 + 3$

Langkah 13.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$1$

Langkah 14

$x = \frac{4}{25}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{4}{25}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{4}{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{4}{25}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.3.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.3.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.4

Kalikan $2 (\frac{32}{3125})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Langkah 15.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Langkah 15.2.1.6

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Langkah 15.2.1.7

Naikkan $25$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Langkah 15.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{16}{625}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 15.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3125$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.3.1

Kalikan $\frac{16}{625}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Langkah 15.2.3.2

Kalikan $625$ dengan $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Langkah 15.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Langkah 15.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.5.1

Kalikan $- 16$ dengan $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Langkah 15.2.5.2

Kurangi $80$ dengan $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Langkah 15.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Langkah 15.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ adalah minimum lokal

Langkah 17