Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 (\cos (2 x) - \sin (2 x))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 (\cos (2 x) - \sin (2 x))$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$2 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)])$

Langkah 1.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Langkah 1.4.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Langkah 1.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Langkah 1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \cdot 1)$

Langkah 1.5.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x))$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (- 2 \sin (2 x)) + 2 (- 2 \cos (2 x))$

Langkah 1.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 4 \sin (2 x) + 2 (- 2 \cos (2 x))$

Langkah 1.6.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$- 4 \sin (2 x) - 4 \cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 \sin (2 x) - 4 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 \cos (2 x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) - 4 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (2 x) + 8 \sin (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 4 \sin (2 x) - 4 \cos (2 x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (2 x)$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 4 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 5

Pisahkan pecahan.

$\frac{- 4}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 4 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ ke $\tan (2 x)$ .

$\frac{- 4}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 4 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 7

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 \tan (2 x) + \frac{- 4 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 8

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \tan (2 x) + \frac{- 4 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 8.2

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 \tan (2 x) - 4 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 9

Pisahkan pecahan.

$- 4 \tan (2 x) - 4 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Langkah 10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$- 4 \tan (2 x) - 4 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Langkah 11

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 4 \tan (2 x) - 4 = 0 \sec (2 x)$

Langkah 12

Kalikan $0$ dengan $\sec (2 x)$ .

$- 4 \tan (2 x) - 4 = 0$

Langkah 13

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 \tan (2 x) = 4$

Langkah 14

Bagi setiap suku pada $- 4 \tan (2 x) = 4$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \tan (2 x) = 4$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \tan (2 x)}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \tan (2 x)}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

Langkah 14.2.1.2

Bagilah $\tan (2 x)$ dengan $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{4}{- 4}$

Langkah 14.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$\tan (2 x) = - 1$

Langkah 15

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$2 x = \arctan (- 1)$

Langkah 16

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Langkah 17

Bagi setiap suku pada $2 x = - \frac{π}{4}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - \frac{π}{4}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Langkah 17.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Langkah 17.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Langkah 17.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 17.3.2

Kalikan $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Langkah 17.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Langkah 18

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

Langkah 19

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Langkah 19.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{4}$ positif dan koterminal dengan $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 19.3

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{3 π}{4}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{3 π}{4}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Langkah 19.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Langkah 19.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Langkah 19.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 19.3.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Langkah 19.3.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Langkah 20

Penyelesaian untuk persamaan $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Langkah 21

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 8 \cos (2 (- \frac{π}{8})) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$- 8 \cos (2 \frac{- π}{8}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 8 \cos (2 \frac{- π}{2 (4)}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 8 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 4}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 8 \cos (\frac{- π}{4}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 8 \cos (- \frac{π}{4}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.3

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 8 \cos (\frac{7 π}{4}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 8 \cos (\frac{π}{4}) + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2}}{2} + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{\sqrt{2}}{2} + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 4 \frac{\sqrt{2}}{2} + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 \frac{- π}{8})$

Langkah 22.1.7.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 \frac{- π}{2 (4)})$

Langkah 22.1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 4})$

Langkah 22.1.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (\frac{- π}{4})$

Langkah 22.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (- \frac{π}{4})$

Langkah 22.1.9

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 4 \sqrt{2} + 8 \sin (\frac{7 π}{4})$

Langkah 22.1.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 4 \sqrt{2} + 8 (- \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 22.1.11

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 8 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 22.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.12.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 \sqrt{2} + 8 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.12.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 4 \sqrt{2} + 2 (4) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.12.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \sqrt{2} + 2 \cdot 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.12.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2})$

Langkah 22.1.13

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Langkah 22.2

Kurangi $4 \sqrt{2}$ dengan $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 8 \sqrt{2}$

Langkah 23

$x = - \frac{π}{8}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{8}$ adalah maksimum lokal

Langkah 24

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (2 (- \frac{π}{8})) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (2 (\frac{- π}{8})) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (2 (\frac{- π}{2 (4)})) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (\frac{- π}{4}) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (- \frac{π}{4}) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.3

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (\frac{7 π}{4}) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\cos (\frac{π}{4}) - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (- \frac{π}{8})))$

Langkah 24.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (\frac{- π}{8})))$

Langkah 24.2.1.6.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (\frac{- π}{2 (4)})))$

Langkah 24.2.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})))$

Langkah 24.2.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{- π}{4}))$

Langkah 24.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (- \frac{π}{4}))$

Langkah 24.2.1.8

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}))$

Langkah 24.2.1.9

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 24.2.1.10

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.1.11

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Langkah 24.2.1.11.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{8}) = 2 \sqrt{2}$

Langkah 24.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Langkah 25

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 8 \cos (2 (\frac{3 π}{8})) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 8 \cos (2 \frac{3 π}{2 (4)}) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 8 \cos (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4}) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 8 \cos (\frac{3 π}{4}) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 8 (- \cos (\frac{π}{4})) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 8 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{- \sqrt{2}}{2} + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 (- \sqrt{2}) + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Langkah 26.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)})$

Langkah 26.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \sqrt{2} + 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4})$

Langkah 26.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \sqrt{2} + 8 \sin (\frac{3 π}{4})$

Langkah 26.1.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$4 \sqrt{2} + 8 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 26.1.8

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} + 8 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.9.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$4 \sqrt{2} + 2 (4) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \sqrt{2} + 2 \cdot 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Langkah 26.2

Tambahkan $4 \sqrt{2}$ dan $4 \sqrt{2}$ .

$8 \sqrt{2}$

Langkah 27

$x = \frac{3 π}{8}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{8}$ adalah minimum lokal

Langkah 28

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\cos (2 (\frac{3 π}{8})) - \sin (2 (\frac{3 π}{8})))$

Langkah 28.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\cos (2 (\frac{3 π}{2 (4)})) - \sin (2 (\frac{3 π}{8})))$

Langkah 28.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})) - \sin (2 (\frac{3 π}{8})))$

Langkah 28.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\cos (\frac{3 π}{4}) - \sin (2 (\frac{3 π}{8})))$

Langkah 28.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \cos (\frac{π}{4}) - \sin (2 (\frac{3 π}{8})))$

Langkah 28.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (\frac{3 π}{8})))$

Langkah 28.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)})))$

Langkah 28.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})))$

Langkah 28.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{3 π}{4}))$

Langkah 28.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 28.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{- 2 \sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{- 2 \sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sqrt{2}$

Langkah 28.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 \sqrt{2}$

Langkah 29

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 (\cos (2 x) - \sin (2 x))$ .

$(- \frac{π}{8}, 2 \sqrt{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{8}, - 2 \sqrt{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 30