Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Langkah 1.4.2.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 1.4.2.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Langkah 5

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 \sin (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 7

Atur $\sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 7.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 8

Atur $\cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $\cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $\cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 8.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 8.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 8.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 8.2.6

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 0, π, 2 π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Langkah 11.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Langkah 11.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 - 2$

Langkah 11.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$0$

Langkah 12

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Langkah 12.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Langkah 12.2.2.1.2

Evaluasi $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Langkah 12.2.2.1.3

Evaluasi $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Langkah 12.2.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Langkah 12.2.2.2

Tambahkan $0.75680249$ dan $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Langkah 12.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.57539734$ .

$2.57539734$

Langkah 12.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, π)$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Langkah 12.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Langkah 12.3.2.1.2

Evaluasi $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Langkah 12.3.2.1.3

Evaluasi $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Langkah 12.3.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Langkah 12.3.2.2

Kurangi $1.81859485$ dengan $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Langkah 12.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Langkah 12.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $5$ , dari interval $(π, 2 π)$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Langkah 12.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Langkah 12.4.2.1.2

Evaluasi $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Langkah 12.4.2.1.3

Evaluasi $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Langkah 12.4.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Langkah 12.4.2.2

Tambahkan $- 0.54402111$ dan $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Langkah 12.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.37382743$ .

$1.37382743$

Langkah 12.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $9$ , dari interval $(2 π, \infty)$ dalam turunan pertama $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Langkah 12.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Langkah 12.5.2.1.2

Evaluasi $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Langkah 12.5.2.1.3

Evaluasi $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Langkah 12.5.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Langkah 12.5.2.2

Kurangi $0.82423697$ dengan $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Langkah 12.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Langkah 12.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah maksimum lokal.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 12.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = π$ , maka $x = π$ adalah minimum lokal.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 12.8

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 2 π$ , maka $x = 2 π$ adalah maksimum lokal.

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

Langkah 12.9

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = π$ adalah minimum lokal

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

$x = 0$ adalah maksimum lokal

$x = π$ adalah minimum lokal

$x = 2 π$ adalah maksimum lokal

Langkah 13