Kalkulus Contoh

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Langkah 1.3.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $24 - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 1.3.6

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 1.3.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 1.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 1.3.10

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 1.3.11

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 1.3.12

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 1.3.13

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Langkah 1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 1.4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 1.4.4.2

Kalikan $7$ dengan $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 1.4.4.3

Kalikan $168$ dengan $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 1.4.4.4

Kalikan $- 3$ dengan $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Langkah 1.4.4.5

Kalikan $x$ dengan $x^{6}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.5.1

Pindahkan $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Langkah 1.4.4.5.2

Kalikan $x^{6}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Langkah 1.4.4.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Langkah 1.4.4.5.3

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Langkah 1.4.4.6

Kalikan $- 21$ dengan $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Langkah 1.4.4.7

Tambahkan $9 x^{7}$ dan $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Langkah 1.4.5

Susun kembali suku-suku.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $72 x^{7}$ terhadap $x$ adalah $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.2.3

Kalikan $7$ dengan $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 504$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 504 x^{6}$ terhadap $x$ adalah $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.3.3

Kalikan $6$ dengan $- 504$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $72 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

Langkah 2.4.3

Kalikan $2$ dengan $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Langkah 4.1.3.2

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Langkah 4.1.3.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Langkah 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 4.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $24 - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 4.1.3.6

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 4.1.3.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 4.1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Langkah 4.1.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 4.1.3.10

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 4.1.3.11

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 4.1.3.12

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Langkah 4.1.3.13

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Langkah 4.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 4.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 4.1.4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 4.1.4.4.2

Kalikan $7$ dengan $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 4.1.4.4.3

Kalikan $168$ dengan $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Langkah 4.1.4.4.4

Kalikan $- 3$ dengan $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Langkah 4.1.4.4.5

Kalikan $x$ dengan $x^{6}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.4.5.1

Pindahkan $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Langkah 4.1.4.4.5.2

Kalikan $x^{6}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.4.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Langkah 4.1.4.4.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Langkah 4.1.4.4.5.3

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Langkah 4.1.4.4.6

Kalikan $- 21$ dengan $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Langkah 4.1.4.4.7

Tambahkan $9 x^{7}$ dan $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Langkah 4.1.4.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Langkah 5.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 0.60223321$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Naikkan $- 0.60223321$ menjadi pangkat $6$ .

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Langkah 9.1.2

Kalikan $504$ dengan $0.04770767$ .

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Langkah 9.1.3

Naikkan $- 0.60223321$ menjadi pangkat $5$ .

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

Langkah 9.1.4

Kalikan $- 3024$ dengan $- 0.07921793$ .

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

Langkah 9.1.5

Kalikan $144$ dengan $- 0.60223321$ .

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

Langkah 9.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $24.04466629$ dan $239.55503398$ .

$263.59970027 - 86.72158264$

Langkah 9.2.2

Kurangi $86.72158264$ dengan $263.59970027$ .

$176.87811762$

Langkah 10

$x = - 0.60223321$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 0.60223321$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = - 0.60223321$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.60223321$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Naikkan $- 0.60223321$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $- 0.21842085$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan ${(- 0.60223321)}^{4}$ dengan ${(- 0.60223321)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.3.1

Pindahkan ${(- 0.60223321)}^{3}$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Langkah 11.2.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Langkah 11.2.1.3.3

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Langkah 11.2.1.4

Naikkan $- 0.60223321$ menjadi pangkat $7$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Langkah 11.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 0.02873114$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Langkah 11.2.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

Langkah 11.2.1.7

Tambahkan $24$ dan $1.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

Langkah 11.2.1.8

Kalikan $0.08619343$ dengan $25.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $- 5.24210059$ dan $2.22436801$ .

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.01773257$ .

$y = - 3.01773257$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Langkah 13.1.2

Kalikan $504$ dengan $0$ .

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Langkah 13.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

Langkah 13.1.4

Kalikan $- 3024$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 144 (0)$

Langkah 13.1.5

Kalikan $144$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 0$

Langkah 13.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 14

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

Langkah 14.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 3$ , dari interval $(- \infty, - 0.60223321)$ dalam turunan pertama $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 14.2.2.1.2

Kalikan $72$ dengan $- 2187$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 14.2.2.1.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 14.2.2.1.4

Kalikan $- 504$ dengan $729$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 14.2.2.1.5

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

Langkah 14.2.2.1.6

Kalikan $72$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

Langkah 14.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1

Kurangi $367416$ dengan $- 157464$ .

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

Langkah 14.2.2.2.2

Tambahkan $- 524880$ dan $648$ .

$f' (- 3) = - 524232$

Langkah 14.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 524232$ .

$- 524232$

Langkah 14.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 0.3$ , dari interval $(- 0.60223321, 0)$ dalam turunan pertama $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1.1

Naikkan $- 0.3$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Langkah 14.3.2.1.2

Kalikan $72$ dengan $- 0.0002187$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Langkah 14.3.2.1.3

Naikkan $- 0.3$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Langkah 14.3.2.1.4

Kalikan $- 504$ dengan $0.000729$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Langkah 14.3.2.1.5

Naikkan $- 0.3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

Langkah 14.3.2.1.6

Kalikan $72$ dengan $0.09$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

Langkah 14.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.2.1

Kurangi $0.367416$ dengan $- 0.0157464$ .

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

Langkah 14.3.2.2.2

Tambahkan $- 0.3831624$ dan $6.48$ .

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

Langkah 14.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6.0968376$ .

$6.0968376$

Langkah 14.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0.31$ , dari interval $(0, 0.62944187)$ dalam turunan pertama $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.31$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Langkah 14.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1.1

Naikkan $0.31$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Langkah 14.4.2.1.2

Kalikan $72$ dengan $0.00027512$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Langkah 14.4.2.1.3

Naikkan $0.31$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

Langkah 14.4.2.1.4

Kalikan $- 504$ dengan $0.0008875$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

Langkah 14.4.2.1.5

Naikkan $0.31$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

Langkah 14.4.2.1.6

Kalikan $72$ dengan $0.0961$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

Langkah 14.4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.2.1

Kurangi $0.44730185$ dengan $0.01980908$ .

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

Langkah 14.4.2.2.2

Tambahkan $- 0.42749277$ dan $6.9192$ .

$f' (0.31) = 6.49170722$

Langkah 14.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6.49170722$ .

$6.49170722$

Langkah 14.5

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(0.62944187, 6.9995834)$ dalam turunan pertama $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Langkah 14.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Langkah 14.5.2.1.2

Kalikan $72$ dengan $16384$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Langkah 14.5.2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

Langkah 14.5.2.1.4

Kalikan $- 504$ dengan $4096$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

Langkah 14.5.2.1.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

Langkah 14.5.2.1.6

Kalikan $72$ dengan $16$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

Langkah 14.5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.2.1

Kurangi $2064384$ dengan $1179648$ .

$f' (4) = - 884736 + 1152$

Langkah 14.5.2.2.2

Tambahkan $- 884736$ dan $1152$ .

$f' (4) = - 883584$

Langkah 14.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 883584$ .

$- 883584$

Langkah 14.6

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $9$ , dari interval $(6.9995834, \infty)$ dalam turunan pertama $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Langkah 14.6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.2.1.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $7$ .

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Langkah 14.6.2.1.2

Kalikan $72$ dengan $4782969$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Langkah 14.6.2.1.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $6$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

Langkah 14.6.2.1.4

Kalikan $- 504$ dengan $531441$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

Langkah 14.6.2.1.5

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

Langkah 14.6.2.1.6

Kalikan $72$ dengan $81$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

Langkah 14.6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.2.2.1

Kurangi $267846264$ dengan $344373768$ .

$f' (9) = 76527504 + 5832$

Langkah 14.6.2.2.2

Tambahkan $76527504$ dan $5832$ .

$f' (9) = 76533336$

Langkah 14.6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $76533336$ .

$76533336$

Langkah 14.7

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = - 0.60223321$ , maka $x = - 0.60223321$ adalah minimum lokal.

$x = - 0.60223321$ adalah minimum lokal

Langkah 14.8

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 14.9

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = 0.62944187$ , maka $x = 0.62944187$ adalah maksimum lokal.

$x = 0.62944187$ adalah maksimum lokal

Langkah 14.10

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 6.9995834$ , maka $x = 6.9995834$ adalah minimum lokal.

$x = 6.9995834$ adalah minimum lokal

Langkah 14.11

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ .

$x = - 0.60223321$ adalah minimum lokal

$x = 0.62944187$ adalah maksimum lokal

$x = 6.9995834$ adalah minimum lokal

$x = - 0.60223321$ adalah minimum lokal

$x = 0.62944187$ adalah maksimum lokal

$x = 6.9995834$ adalah minimum lokal

Langkah 15