Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$3 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 \cos (x) \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.5

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.6

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.2.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) + 6 (- \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Faktorkan $3 \cos (x)$ dari $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $3 \cos (x)$ dari $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan $3 \cos (x)$ dari $3 \cos (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan $3 \cos (x)$ dari $3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Langkah 6

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 7

Atur $2 \sin (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $2 \sin (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $2 \sin (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \sin (x) = - 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \sin (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 7.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 7.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 7.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 7.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 7.2.7

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.3

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{2} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.6

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Langkah 10.1.8

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$0 - 6 - 3$

Langkah 10.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$- 6 - 3$

Langkah 10.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 6$ .

$- 9$

Langkah 11

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1^{2} + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \cdot 1$

Langkah 12.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6$ .

$y = 6$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.4

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.9

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$0 - 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 14.1.11

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 - 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 14.1.12

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot - 1$

Langkah 14.1.12.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$0 - 6 + 3$

Langkah 14.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$- 6 + 3$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $- 6$ dan $3$ .

$- 3$

Langkah 15

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 16.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.2.1.8

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \cdot - 1$

Langkah 16.2.1.8.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 3$

Langkah 16.2.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$6 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.5.5

Evaluasi eksponennya.

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.7.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.7.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.9

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.10

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.11

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.12

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.13

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.13.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.13.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.14

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.15

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.17

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.18

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.18.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.18.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.18.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.18.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.19

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.21

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Langkah 18.1.22

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 18.1.23

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 18.1.24

Kalikan $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.24.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 18.1.24.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 18.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

Langkah 18.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Langkah 18.2.2.2

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 19

$x = - \frac{π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.4

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.6

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Langkah 20.2.1.10

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Langkah 20.2.1.11

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 20.2.1.12

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 20.2.1.13

Kalikan $3 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 20.2.1.13.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 20.2.1.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Langkah 20.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{3}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 20.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.3.1

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 20.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Langkah 20.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Langkah 20.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

Langkah 20.2.5.2

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Langkah 20.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Langkah 20.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Langkah 21

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{7 π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$6 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$6 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.3

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.5

Kalikan $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.6.5

Evaluasi eksponennya.

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.8.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.10

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.11

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.12

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.13

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.13.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.13.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.14

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.15

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.17

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.18

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.18.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.18.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.18.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.18.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.19

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 22.1.21

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 22.1.22

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 22.1.23

Kalikan $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.23.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 22.1.23.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 22.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

Langkah 22.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Langkah 22.2.2.2

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 23

$x = \frac{7 π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{7 π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 24

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{7 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.3

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.5

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Langkah 24.2.1.9

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Langkah 24.2.1.10

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

Langkah 24.2.1.11

Kalikan $3 (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Langkah 24.2.1.11.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 24.2.1.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Langkah 24.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{3}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 24.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.3.1

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 24.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Langkah 24.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Langkah 24.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

Langkah 24.2.5.2

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Langkah 24.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Langkah 24.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Langkah 25

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 6)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ adalah maksimum lokal

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{4})$ adalah minimum lokal

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{4})$ adalah minimum lokal

Langkah 26