Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Langkah 1.1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} x}}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sqrt[3]{0}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0^{3}}}$

Langkah 1.1.3.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Langkah 1.3.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Langkah 1.3.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Langkah 1.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Langkah 1.3.8.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Langkah 1.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Langkah 1.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.10.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Langkah 1.3.10.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \cos (x) (3 x^{\frac{2}{3}})$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Langkah 2.4

Pindahkan pangkat $\frac{2}{3}$ dari $x^{\frac{2}{3}}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 \cos (0) \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$3 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 4.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 4.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cdot 0^{2}$

Langkah 4.6

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \cdot 0$

Langkah 4.7

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0$