Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Langkah 1

Faktorkan $\sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Langkah 2

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Langkah 3

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 3.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Langkah 7

Gabungkan $- u]_{1}^{0}$ dan $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 8.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 8.2.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 8.2.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 8.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Langkah 8.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Langkah 8.2.7

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Langkah 8.2.8

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 8.2.9

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 8.2.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Langkah 8.2.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Langkah 8.2.11.2

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Langkah 8.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 - - \frac{2}{3}$

Langkah 8.2.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Langkah 8.2.14

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Langkah 8.2.15

Tambahkan $0$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{6}$