Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 3

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 5

Evaluasi limit dari $16$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 7

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 10

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 11

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Langkah 12

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Langkah 13

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Langkah 14

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Langkah 15

Evaluasi limit dari $16$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Langkah 16

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $8$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $8$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Langkah 16.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $8$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Langkah 16.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $8$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Langkah 16.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $8$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.1.2

Kalikan $4$ dengan $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.1.4

Kurangi $16$ dengan $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.3

Kalikan $4$ dengan $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.4

Tambahkan $4096$ dan $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.5

Tulis kembali $4352$ sebagai $16^{2} \cdot 17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.5.1

Faktorkan $256$ dari $4352$ .

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.5.2

Tulis kembali $256$ sebagai $16^{2}$ .

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Langkah 17.2.7

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Langkah 17.2.8

Tambahkan $4096$ dan $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Langkah 17.2.9

Tulis kembali $4112$ sebagai $4^{2} \cdot 257$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.9.1

Faktorkan $16$ dari $4112$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Langkah 17.2.9.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Langkah 17.2.10

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Langkah 17.2.11

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Langkah 17.3

Hapus faktor persekutuan dari $240$ dan $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Faktorkan $4$ dari $240$ .

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Langkah 17.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $16 \sqrt{17}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Langkah 17.3.2.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sqrt{257}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Langkah 17.3.2.3

Faktorkan $4$ dari $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Langkah 17.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Langkah 17.3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Langkah 17.4

Kalikan $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ dengan $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Langkah 17.5

Kalikan $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ dengan $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Langkah 17.6

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Langkah 17.7

Sederhanakan.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Langkah 17.8

Hapus faktor persekutuan dari $60$ dan $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.8.1

Faktorkan $15$ dari $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Langkah 17.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.8.2.1

Faktorkan $15$ dari $15$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Langkah 17.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Langkah 17.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Langkah 17.8.2.4

Bagilah $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ dengan $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Langkah 17.9

Terapkan sifat distributif.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Langkah 17.10

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Langkah 18

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Bentuk Desimal:

$130.09456817 \dots$