Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{3}}{\sin (x - 5) \cdot (x - 5)}$

Langkah 1

Hapus faktor persekutuan dari ${(x - 5)}^{3}$ dan $x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x - 5$ dari ${(x - 5)}^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) {(x - 5)}^{2}}{\sin (x - 5) \cdot (x - 5)}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x - 5$ dari $\sin (x - 5) \cdot (x - 5)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) {(x - 5)}^{2}}{(x - 5) \cdot \sin (x - 5)}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 5} \frac{(x - 5) {(x - 5)}^{2}}{(x - 5) \cdot \sin (x - 5)}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{\sin (x - 5)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 5} {(x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x - 5)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $5$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(5 - 1 \cdot 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{{(5 - 5)}^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.2.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sin (x - 5)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Langkah 2.1.3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $5$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Langkah 2.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $5$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Langkah 2.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $5$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (5 - 1 \cdot 5)}$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{0}{\sin (5 - 5)}$

Langkah 2.1.3.3.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 2.1.3.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 5} \frac{{(x - 5)}^{2}}{\sin (x - 5)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali ${(x - 5)}^{2}$ sebagai $(x - 5) (x - 5)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.3

Perluas $(x - 5) (x - 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 5) - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.4.1.2

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.4.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.4.2

Kurangi $5 x$ dengan $- 5 x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 10 x + 25$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.7

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.9

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.10

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.11

Tambahkan $2 x - 10$ dan $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [\sin (x - 5)]}$

Langkah 2.3.12

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 2.3.12.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 2.3.12.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Langkah 2.3.13

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Langkah 2.3.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Langkah 2.3.15

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) (1 + 0)}$

Langkah 2.3.16

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5) \cdot 1}$

Langkah 2.3.17

Kalikan $\cos (x - 5)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\cos (x - 5)}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Langkah 3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Langkah 3.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Langkah 3.4

Evaluasi limit dari $10$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} \cos (x - 5)}$

Langkah 3.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - 5)}$

Langkah 3.6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}$

Langkah 3.7

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Langkah 4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $5$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $5$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{\cos (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $5$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Langkah 5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$\frac{10 - 10}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Langkah 5.1.3

Kurangi $10$ dengan $10$ .

$\frac{0}{\cos (5 - 1 \cdot 5)}$

Langkah 5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{0}{\cos (5 - 5)}$

Langkah 5.2.2

Kurangi $5$ dengan $5$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Langkah 5.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1}$

Langkah 5.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$