Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Langkah 1

Terapkan identitas trigonometri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\tan (3 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Langkah 1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Langkah 1.4.2

Konversikan dari $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ ke $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Langkah 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Langkah 2.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $90$ ke dalam (Variabel2).

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Langkah 4

Pertimbangkan limit kiri.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Langkah 5

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $\tan (x)$ ketika $x$ mendekati $90$ dari kiri.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Langkah 6

Ketika nilai $x$ mendekati $90$ , nilai fungsinya mendekati $- 1.995$ . Jadi, limit dari $\tan (x)$ ketika $x$ mendekati $90$ dari kiri adalah $- 1.995$ .

$- 1.995$

Langkah 7

Pertimbangkan limit kanan.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Langkah 8

Buat tabel untuk menunjukkan sifat dari fungsi $\tan (x)$ ketika $x$ mendekati $90$ dari kanan.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Langkah 9

Ketika nilai $x$ mendekati $90$ , nilai fungsinya mendekati $- 1.995$ . Jadi, limit dari $\tan (x)$ ketika $x$ mendekati $90$ dari kanan adalah $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $3$ dengan $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Langkah 10.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Langkah 10.3

Nilai eksak dari $\cot (90)$ adalah $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Langkah 10.4

Kalikan $- 1.995$ dengan $0$ .

$0$