Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{3 x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 1

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (10 x)}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 10 x)}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (10 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (10 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 2.1.3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 2.1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Langkah 2.1.3.5.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Langkah 2.1.3.5.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.5.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (10 x)}{x \cdot \cos (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (10 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 10 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $10 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $10 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.5

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x) \cdot 10}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $\cos (10 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot \cos (10 x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot \cos (5 x)]}$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (5 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.9

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.10

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 5 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 5 \sin (5 x) \cdot 1 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.12

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 5 \sin (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 5 \sin (5 x) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Langkah 2.3.14

Kalikan $\cos (5 x)$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{x \cdot - 5 \sin (5 x) + \cos (5 x)}$

Langkah 2.3.15

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (10 x)}{- 5 x \sin (5 x) + \cos (5 x)}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 lim_{x \to 0} \frac{\cos (10 x)}{- 5 x \sin (5 x) + \cos (5 x)}$

Langkah 3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + \cos (5 x)}$

Langkah 3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 10 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + \cos (5 x)}$

Langkah 3.4

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + \cos (5 x)}$

Langkah 3.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 5 x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 3.6

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 3.7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 3.8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 3.9

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Langkah 3.10

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Langkah 3.11

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 \cdot 0)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 4.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{3} \cdot 10 \frac{\cos (10 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $10$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{\cos (10 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.3.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (5 \cdot 0)}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Langkah 5.3.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Langkah 5.3.7

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10}{3} \cdot 1$

Langkah 5.5

Kalikan $\frac{10}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{10}{3}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{10}{3}$

Bentuk Desimal:

$3.\overline{3}$