Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x^{2})}{\ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.1.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\ln (1 + 3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.1.5

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{\ln (1 + 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (1 + 3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{\ln (1 + 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.2.3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} 5 x^{2})}$

Langkah 1.1.3.1.4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 lim_{x \to 0} x^{2})}$

Langkah 1.1.3.1.5

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{\ln (1 + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (1 + 5 \cdot 0^{2})}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 \cdot 0)}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Langkah 1.1.3.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Langkah 1.1.3.3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x^{2})}{\ln (1 + 5 x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 3 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.7

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{1 + 3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3 x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{1 + 3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 3}{1 + 3 x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.10

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{1 + 3 x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.11

Gabungkan $\frac{6}{1 + 3 x^{2}}$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.12

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Langkah 1.3.13

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + 5 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.13.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Langkah 1.3.13.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Langkah 1.3.13.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Langkah 1.3.14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 5 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])}$

Langkah 1.3.15

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])}$

Langkah 1.3.16

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Langkah 1.3.17

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Langkah 1.3.18

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{1 + 5 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{5}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Langkah 1.3.19

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{5}{1 + 5 x^{2}} (2 x)}$

Langkah 1.3.20

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{1 + 5 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{2 \cdot 5}{1 + 5 x^{2}} x}$

Langkah 1.3.21

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10}{1 + 5 x^{2}} x}$

Langkah 1.3.22

Gabungkan $\frac{10}{1 + 5 x^{2}}$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10 x}{1 + 5 x^{2}}}$

Langkah 1.3.23

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10 x}{5 x^{2} + 1}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{3 x^{2} + 1} \cdot \frac{5 x^{2} + 1}{10 x}$

Langkah 1.5

Kalikan $\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$ dengan $\frac{5 x^{2} + 1}{10 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (10 x)}$

Langkah 1.6

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x (5 x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{(3 x^{2} + 1) (10 x)}$

Langkah 1.6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $(3 x^{2} + 1) (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{2 ((3 x^{2} + 1) (5 x))}$

Langkah 1.6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{2 ((3 x^{2} + 1) (5 x))}$

Langkah 1.6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (5 x)}$

Langkah 1.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (5 x)}$

Langkah 1.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) \cdot (5)}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $\frac{3}{5}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2} + 1}{3 x^{2} + 1}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Langkah 2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Langkah 2.4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Langkah 2.5

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Langkah 2.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Langkah 2.7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 2.8

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 2.9

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 2.10

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Langkah 4.1.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}$

Langkah 4.2.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{5} \cdot 1$

Langkah 4.4

Kalikan $\frac{3}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{3}{5}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3}{5}$

Bentuk Desimal:

$0.6$