Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} - \frac{1}{x}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Langkah 1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $\ln (x + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Langkah 1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\ln (x + 1) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1)} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 - \ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.6.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.2.6.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Langkah 2.1.3.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 2.1.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Langkah 2.1.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 2.1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 2.1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1)}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1)}$

Langkah 2.1.3.6.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Langkah 2.1.3.6.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.6.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \ln (x + 1)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x + 1)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.4.7

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1 - 1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.5.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 0}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.5.4

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.12

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.13

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1}$

Langkah 2.3.15

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1)}$

Langkah 2.3.16

Untuk menuliskan $\ln (x + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 2.3.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 2.3.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.18.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.18.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.18.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1}{x + 1}}$

Langkah 2.3.18.1.1.2

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 2.3.18.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + x \ln (x + 1) + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 2.3.18.2

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Langkah 2.5

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $\frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Langkah 2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Langkah 2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.3.3

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.3.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Langkah 3.1.3.6

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 3.1.3.7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Langkah 3.1.3.8

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 3.1.3.9

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.9.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 3.1.3.9.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 3.1.3.9.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Langkah 3.1.3.9.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Langkah 3.1.3.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.10.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Langkah 3.1.3.10.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Langkah 3.1.3.10.1.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Langkah 3.1.3.10.1.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (1)}$

Langkah 3.1.3.10.1.5

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Langkah 3.1.3.10.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 3.1.3.10.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.3.10.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.3.11

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.8

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.9

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.10

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.11

Untuk menuliskan $\ln (x + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.4.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Langkah 3.3.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Langkah 3.3.6.1.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Langkah 3.3.6.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Langkah 3.3.6.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Langkah 3.3.6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Langkah 3.3.6.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Langkah 3.3.6.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Langkah 3.3.6.6

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1) + x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.1.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1 + 1}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.2.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 + 2 x + 2}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.2.2

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.2.3

Tulis kembali $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.2.3.1

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x \ln (x + 1) + 2 x + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.2.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.2.3.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x \ln (x + 1) + 2 x) + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.2.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x (\ln (x + 1) + 2) + 1 (\ln (x + 1) + 2)}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.2.3.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $\ln (x + 1) + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Langkah 3.3.7.3.2

Bagilah $\ln (x + 1) + 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1) + 2}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Langkah 4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 4.4

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 4.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 4.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 4.7

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2}$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{\ln (0 + 1) + 2}$

Langkah 6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + 2}$

Langkah 6.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$