Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{4})}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Langkah 1.1.3.3.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \tan (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3.4.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3.5

Kurangi $\sec^{2} (x)$ dengan $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 1.3.6.2

Turunan dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $- \csc^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 1.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 1.3.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 1.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1}$

Langkah 1.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x)}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{- 2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\csc^{2} (2 x)}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Langkah 2.3

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Langkah 2.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Langkah 2.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Langkah 2.6

Pindahkan pangkat $2$ dari $\csc^{2} (2 x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (2 x))}^{2}}$

Langkah 2.7

Pindahkan limit dalam fungsi trigonometri karena kosekan kontinu.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Langkah 2.8

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan.

$\frac{1 (- \sec^{2} (\frac{π}{4}))}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Langkah 4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Langkah 4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Langkah 4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Langkah 4.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Langkah 4.3.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1^{2}}$

Langkah 4.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Nilai eksak dari $\sec (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.4.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2^{1}}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.4.5.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 4.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Langkah 4.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Langkah 4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2}{- 2}$

Langkah 4.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$