Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Langkah 1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pindahkan limit dalam fungsi trigonometri karena kosekan kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 2.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Langkah 2.1.3.3

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\csc (x) - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3.3

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tambahkan $- \csc (x) \cot (x)$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 2.3.6

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Langkah 2.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x) \csc (x)}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $\csc (x)$ dan $\csc^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan $\csc (x)$ dari $\cot (x) \csc (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Faktorkan $\csc (x)$ dari $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Langkah 2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Langkah 2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Langkah 3.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Langkah 3.3

Pindahkan limit dalam fungsi trigonometri karena kosekan kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Langkah 5.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Langkah 5.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 5.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0$