Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (3 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (3 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.2.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.2.3.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 x)}$

Langkah 1.1.3.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x)}$

Langkah 1.1.3.1.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Langkah 1.1.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (3 x)}{1 + \cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.6

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \cos (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Langkah 1.3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 1.3.9.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 1.3.9.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 1.3.9.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 1.3.9.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)}$

Langkah 1.3.9.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - \sin (2 x) \cdot 2}$

Langkah 1.3.9.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{0 - 2 \sin (2 x)}$

Langkah 1.3.10

Kurangi $2 \sin (2 x)$ dengan $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (3 x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Langkah 2

Karena fungsi mendekati $- \infty$ dari kiri dan $\infty$ dari kanan, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$