Kalkulus Contoh

$\frac{x - x^{2}}{2 - 3 x + x^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - x^{2}$ dan $g (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - (2 x)) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - 3 x + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.11

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Perluas $(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} x + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.9

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.9.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.9.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.9.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{1 + 2} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.9.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3

Kurangi $3 x$ dengan $- 4 x$ .

$\frac{2 - 7 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.4

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.5

Kalikan $- - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + 1 x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.5.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.6

Perluas $(- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x (- 3 + 2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.5

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{2} x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1.7.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.7.1.7.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.1.7.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.1.7.2

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2} + 0}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $- 7 x$ dan $3 x$ .

$\frac{2 + 7 x^{2} - 4 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Kurangi $5 x^{2}$ dengan $7 x^{2}$ .

$\frac{2 + 2 x^{2} - 4 x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 3.4.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $2$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 2, - 1$

Langkah 3.5.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 2) (x - 1))}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$