Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{\frac{x \cdot 2 - 1}{2}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 1) \frac{2}{x \cdot 2 - 1}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $4 x^{2} - 1$ dengan $\frac{2}{x \cdot 2 - 1}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 2}{x \cdot 2 - 1}$

Langkah 2.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.1.2

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.1.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$2 \frac{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \frac{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$2 \frac{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Langkah 3.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x \cdot 2 - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.3.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Langkah 3.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \cdot 2 - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 + 0}$

Langkah 3.3.9

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2}$

Langkah 3.4

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 4 x}{2}$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (1)}$

Langkah 3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 4 x}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x}{1}$

Langkah 3.4.2.4

Bagilah $4 x$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x$

Langkah 4

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cdot 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Langkah 6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$2 (4) \frac{1}{2}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Langkah 6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4$