Kalkulus Contoh

$lim_{t \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{t}{2})}{\sin (t)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin^{2} (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sin^{2} (\frac{t}{2})$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2}))}^{2}}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin^{2} (lim_{t \to 0} \frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2.1.3

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin^{2} (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.2.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} t)}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 1.1.3.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{t}{2})}{\sin (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin^{2} (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin^{2} (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = \sin (\frac{t}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \sin (t)$ dan $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\frac{t}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.3.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\frac{t}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{t}{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2}{2} \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2})}{2} \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.7

Gabungkan $\frac{2 \sin (\frac{t}{2})}{2}$ dan $\cos (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{2} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{2} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.8.2

Bagilah $\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})$ dengan $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.10

Kalikan $\sin (\frac{t}{2})$ dengan $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.11

Susun kembali faktor-faktor dari $\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Langkah 1.3.12

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{\cos (t)}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \cos (\frac{t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Langkah 2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{t \to 0} \frac{t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Langkah 2.4

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Langkah 2.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (lim_{t \to 0} \frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Langkah 2.6

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Langkah 2.7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{\cos (0) \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Langkah 4.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Langkah 4.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1 \sin (0)}{\cos (0)}$

Langkah 4.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1 \cdot 0}{\cos (0)}$

Langkah 4.1.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Langkah 4.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1}$

Langkah 4.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$