Kalkulus Contoh

$y = 4 {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Langkah 1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$4 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (5 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$20 ({(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 8.3

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Langkah 10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $20$ .

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$

Langkah 10.3

Gabungkan $\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.4

Faktorkan $2$ dari $20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$\frac{10 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10 (x^{2} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{1} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.5

Sederhanakan.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1 + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.7

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.9

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.2.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 x^{2} + 10 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Kalikan $4$ dengan $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.4.2

Kalikan $6$ dengan $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.4.3

Kalikan $4$ dengan $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.1.4.4

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{10 x^{2} + 60 x + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$