Kalkulus Contoh

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Langkah 1.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} \sqrt{n}}$

Langkah 1.1.3

Ketika $n$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [\sqrt{n}]}$

Langkah 1.3.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{n}$ sebagai $n^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [n^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1}}$

Langkah 1.3.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 1.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 1.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Langkah 1.3.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{\frac{- 1}{2}}}$

Langkah 1.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} n^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.10.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 1.3.10.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2 n^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{n \to \infty} 1 (2 n^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.5

Tulis kembali $n^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{n}$ .

$lim_{n \to \infty} 1 (2 \sqrt{n})$

Langkah 1.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{n \to \infty} 2 \sqrt{n}$

Langkah 2

Karena fungsi $\sqrt{n}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $2$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $2$ dihapus.

$lim_{n \to \infty} \sqrt{n}$

Langkah 2.2

Ketika $n$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\infty$