Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{x}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(1 - \cos (x))}^{x}$ sebagai $e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(1 - \cos (x))}^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (1 - \cos (x))}$

Langkah 2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0} x \ln (1 - \cos (x))}$

Langkah 3

Tulis kembali $x \ln (1 - \cos (x))$ sebagai $\frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Langkah 4

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Langkah 5

Evaluasi limit kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{-}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Langkah 5.1.1.2

Ketika $x$ mendekati $0$ dari sisi kiri, $\ln (1 - \cos (x))$ menurun tanpa batas.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x}}}$

Langkah 5.1.1.3

Karena pembilangnya tetap dan penyebutnya mendekati $0$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kiri, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati tak hingga negatif.

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Langkah 5.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{- \infty}{- \infty}}$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{- \infty}{- \infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 5.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.9

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.10

Gabungkan $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.1.3.11

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Langkah 5.1.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Langkah 5.1.3.13

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Langkah 5.1.5

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ dan $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{-}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.2

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{-}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.5.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.5.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.2.5.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} 1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{-}} \cos (x)}}$

Langkah 5.3.1.3.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{-}} x)}}$

Langkah 5.3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Langkah 5.3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.3.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Langkah 5.3.1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Langkah 5.3.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 5.3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 5.3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 5.3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 5.3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Langkah 5.3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.5

Susun kembali suku-suku.

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Langkah 5.3.3.8.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Langkah 5.3.3.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Langkah 5.3.3.8.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Langkah 5.3.3.9

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 5.4

Karena $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ dan $lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , terapkan Teorema Apit.

$e^{- 0}$

Langkah 5.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e^{0}$

Langkah 6

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}}}$

Langkah 7

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Langkah 7.1.1.2

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (1 - \cos (x))$ menurun tanpa batas.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Langkah 7.1.1.3

Karena pembilangnya tetap dan penyebutnya mendekati $0$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati tak hingga.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 7.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 7.1.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 - \cos (x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 7.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.9

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 - \cos (x)} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.10

Gabungkan $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 7.1.3.11

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Langkah 7.1.3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- x^{- 2}}}$

Langkah 7.1.3.13

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 7.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Langkah 7.1.5

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ dan $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sin (x) x^{2}}{1 - \cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.2

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0^{2} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.5.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.5.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.2.5.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$e^{- \frac{0}{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Langkah 7.3.1.3.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Langkah 7.3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0}{1 - \cos (0)}}$

Langkah 7.3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.3.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}}$

Langkah 7.3.1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- \frac{0}{1 - 1}}$

Langkah 7.3.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 7.3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 7.3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 7.3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 7.3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Langkah 7.3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.2

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.5

Susun kembali suku-suku.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Langkah 7.3.3.8.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 - - 1 \sin (x)}}$

Langkah 7.3.3.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + 1 \sin (x)}}$

Langkah 7.3.3.8.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{0 + \sin (x)}}$

Langkah 7.3.3.9

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 7.4

Karena $\frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} \leq \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)}$ dan $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot - 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2} \cdot 1 + 2 x \sin (x)}{\sin (x)} = 0$ , terapkan Teorema Apit.

$e^{- 0}$

Langkah 7.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e^{0}$

Langkah 8

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1$