Kalkulus Contoh

$lim_{y \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{8 y^{3} - 27}{4 y^{2} - 9}}$

Langkah 1

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 y^{3} - 27}{4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to \frac{3}{2}} 8 y^{3} - 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $y$ mendekati $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{lim_{y \to \frac{3}{2}} 8 y^{3} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $y$ .

$\sqrt{\frac{8 lim_{y \to \frac{3}{2}} y^{3} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.1.3

Pindahkan pangkat $3$ dari $y^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\sqrt{\frac{8 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{3} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.1.4

Evaluasi limit dari $27$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{8 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{3}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\sqrt{\frac{8 {(\frac{3}{2})}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{8 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\sqrt{\frac{8 \frac{27}{2^{3}} - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\sqrt{\frac{8 (\frac{27}{8}) - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{8 (\frac{27}{8}) - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$\sqrt{\frac{27 - 27}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kurangi $27$ dengan $27$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - 9}}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $y$ mendekati $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to \frac{3}{2}} 4 y^{2} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 9}}$

Langkah 2.1.3.1.2

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 lim_{y \to \frac{3}{2}} y^{2} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 9}}$

Langkah 2.1.3.1.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $y^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\sqrt{\frac{0}{4 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{2} - lim_{y \to \frac{3}{2}} 9}}$

Langkah 2.1.3.1.4

Evaluasi limit dari $9$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 {(lim_{y \to \frac{3}{2}} y)}^{2} - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{3}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\sqrt{\frac{0}{4 {(\frac{3}{2})}^{2} - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.3.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 \frac{9}{2^{2}} - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{4 (\frac{9}{4}) - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{0}{4 (\frac{9}{4}) - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}}$

Langkah 2.1.3.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{9 - 9}}$

Langkah 2.1.3.3.2

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Langkah 2.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Langkah 2.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 y^{3} - 27}{4 y^{2} - 9} = lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{\frac{d}{d y} [8 y^{3} - 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{\frac{d}{d y} [8 y^{3} - 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 y^{3} - 27$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [8 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 27]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{\frac{d}{d y} [8 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [8 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $8 y^{3}$ terhadap $y$ adalah $8 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.3.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 27]}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.4

Karena $- 27$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 27$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2} + 0}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $24 y^{2}$ dan $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{\frac{d}{d y} [4 y^{2} - 9]}}$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 y^{2} - 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{\frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

Langkah 2.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

Langkah 2.3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{4 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

Langkah 2.3.7.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{8 y + \frac{d}{d y} [- 9]}}$

Langkah 2.3.8

Karena $- 9$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 9$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{8 y + 0}}$

Langkah 2.3.9

Tambahkan $8 y$ dan $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{24 y^{2}}{8 y}}$

Langkah 2.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Faktorkan $8$ dari $24 y^{2}$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2}}{8 y}}$

Langkah 2.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.2.1

Faktorkan $8$ dari $8 y$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2}}{8 (y)}}$

Langkah 2.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{8 \cdot 3 y^{2}}{8 y}}$

Langkah 2.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{3 y^{2}}{y}}$

Langkah 2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $3 y^{2}$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y}}$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y^{1}}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y \cdot 1}}$

Langkah 2.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{y \cdot 3 y}{y \cdot 1}}$

Langkah 2.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} \frac{3 y}{1}}$

Langkah 2.4.2.2.5

Bagilah $3 y$ dengan $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to \frac{3}{2}} 3 y}$

Langkah 3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $y$ .

$\sqrt{3 lim_{y \to \frac{3}{2}} y}$

Langkah 4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{3}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\sqrt{3 (\frac{3}{2})}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 3}{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\sqrt{\frac{9}{2}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{9}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.5

Kalikan $\frac{3}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 5.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $\frac{3}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 5.6.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 5.6.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 5.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 5.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 5.6.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Bentuk Desimal:

$2.12132034 \dots$