Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pindahkan pangkat $3$ dari ${(x - 1)}^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Langkah 1.1.3.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{{(x - 1)}^{3}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Langkah 1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Langkah 1.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Langkah 1.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}$

Langkah 1.3.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1}$

Langkah 1.3.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.5

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (3 {(x - 1)}^{2})}$

Langkah 2

Karena pembilangnya positif dan penyebut $x (3 {(x - 1)}^{2})$ mendekati nol dan lebih besar dari nol untuk $x$ mendekati $1$ di kedua ruas, fungisnya meningkat tanpa batas.

$\infty$