Kalkulus Contoh

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $\tan^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\tan^{2} (π)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran kedua.

$\frac{{(- \tan (0))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2.3.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{{(- 0)}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.2.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Langkah 1.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

Langkah 1.1.3.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{0}{1 + \sec (lim_{x \to π} x)}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1 + \sec (π)}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$\frac{0}{1 - \sec (0)}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3.4

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

Langkah 1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sec (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 1.3.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Langkah 1.3.7

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \sec (x) \tan (x)}$

Langkah 1.3.8

Tambahkan $0$ dan $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x) \tan (x)}$

Langkah 1.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $\sec^{2} (x)$ dan $\sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Langkah 1.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) (\tan (x))}$

Langkah 1.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

Langkah 1.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Langkah 1.4.2.2

Bagilah $2 \sec (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π} 2 \sec (x)$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to π} \sec (x)$

Langkah 2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$2 \sec (lim_{x \to π} x)$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 \sec (π)$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$2 (- \sec (0))$

Langkah 4.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 4.3

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \cdot - 1$

Langkah 4.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2$