Kalkulus Contoh

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Langkah 1

Konversikan dari $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ke $\csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

Langkah 2

Tulis kembali ${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ sebagai $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 3

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4

Evaluasi limit kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.2.1.1

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x - π)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.2.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.2.3.1

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 4.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Langkah 4.1.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.1.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.2

Tulis kembali ${(x - π)}^{2}$ sebagai $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.3

Perluas $(x - π) (x - π)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.1.2

Kalikan $- π (- π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.1.2.2

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.1.2.3

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.1.2.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.1.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.1.2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.2

Kurangi $π x$ dengan $x (- π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.4.2.1

Pindahkan $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.4.2.2

Kurangi $π x$ dengan $- π x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.7

Karena $- 2 π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 π x$ terhadap $x$ adalah $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.9

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.10

Karena $π^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.11

Tambahkan $2 x - 2 π$ dan $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 4.1.3.12

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.12.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 4.1.3.12.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 4.1.3.12.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 4.1.3.13

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Langkah 4.1.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Langkah 4.1.3.15

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Langkah 4.1.3.16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Langkah 4.1.3.17

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Langkah 4.1.3.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.18.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Langkah 4.1.3.18.2

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Langkah 4.1.3.18.3

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 4.1.3.18.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.18.4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 4.1.3.18.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 4.1.3.18.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 4.1.3.18.5

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 x - 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.1.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Langkah 4.3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 4.3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 4.3.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 4.3.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 4.3.1.2.3

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Langkah 4.3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Langkah 4.3.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Langkah 4.3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Langkah 4.3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.3.3.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 4.3.1.3.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 4.3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 4.3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 4.3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 4.3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 4.3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 4.3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - π$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 4.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 4.3.3.4

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 4.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 4.3.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 4.3.3.6.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 4.3.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 4.3.3.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 4.3.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.3.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Langkah 4.3.3.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Langkah 4.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Langkah 4.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Langkah 4.4.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Langkah 4.4.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Langkah 4.4.5

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Langkah 4.5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 4.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 4.6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 4.6.2

Kalikan $\frac{1}{\cos (2 π)}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 4.6.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 π)}$ ke $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Langkah 4.6.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\sec (0)$

Langkah 4.6.5

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 5

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1

Pindahkan pangkat $2$ dari ${(x - π)}^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.2.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.1

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Langkah 6.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Langkah 6.1.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 6.1.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 6.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 6.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali ${(x - π)}^{2}$ sebagai $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.3

Perluas $(x - π) (x - π)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.1.2

Kalikan $- π (- π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.1.2.2

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.1.2.3

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.1.2.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.1.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.1.2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.2

Kurangi $π x$ dengan $x (- π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.2.1

Pindahkan $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.4.2.2

Kurangi $π x$ dengan $- π x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.7

Karena $- 2 π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 π x$ terhadap $x$ adalah $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.9

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.10

Karena $π^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.11

Tambahkan $2 x - 2 π$ dan $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Langkah 6.1.3.12

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.12.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 6.1.3.12.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 6.1.3.12.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Langkah 6.1.3.13

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Langkah 6.1.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Langkah 6.1.3.15

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Langkah 6.1.3.16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Langkah 6.1.3.17

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Langkah 6.1.3.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.18.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Langkah 6.1.3.18.2

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Langkah 6.1.3.18.3

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 6.1.3.18.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.18.4.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 6.1.3.18.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Langkah 6.1.3.18.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 6.1.3.18.5

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 x - 2 π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Langkah 6.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 π$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Langkah 6.1.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- π)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Langkah 6.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Langkah 6.3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 6.3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 6.3.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $π$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 6.3.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 6.3.1.2.3

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 6.3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Langkah 6.3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Langkah 6.3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.3.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Langkah 6.3.1.3.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 6.3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 6.3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 6.3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 6.3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 6.3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 6.3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - π$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 6.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 6.3.3.4

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 6.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Langkah 6.3.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 6.3.3.6.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 6.3.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Langkah 6.3.3.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 6.3.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Langkah 6.3.3.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Langkah 6.3.3.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Langkah 6.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Langkah 6.4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Langkah 6.4.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $π$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Langkah 6.4.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Langkah 6.4.5

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Langkah 6.5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $π$ ke dalam (Variabel2).

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 6.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 6.6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 6.6.2

Kalikan $\frac{1}{\cos (2 π)}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Langkah 6.6.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 π)}$ ke $\sec (2 π)$ .

$\sec (2 π)$

Langkah 6.6.4

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\sec (0)$

Langkah 6.6.5

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 7

Karena limit kirinya sama dengan limit kanannya, limitnya sama dengan $1$ .

$1$