Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} x^{\tan (x)}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $x^{\tan (x)}$ sebagai $e^{\ln (x^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln (x^{\tan (x)})}$

Langkah 1.2

Perluas $\ln (x^{\tan (x)})$ dengan memindahkan $\tan (x)$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0} e^{\tan (x) \ln (x)}$

Langkah 2

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\tan (x) \ln (x)}$

Langkah 3

Evaluasi batas-batasnya dengan memasukkan nilai untuk variabel.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\tan (0) \ln (0)}$

Langkah 3.2

Karena $e^{\tan (0) \ln (0)}$ tidak terdefinisi, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$

Langkah 4

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (x)}$

Langkah 5

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\tan (x) \ln (x)$ sebagai $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Langkah 5.3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Langkah 5.3.1.2

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (x)$ menurun tanpa batas.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Langkah 5.3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Terapkan identitas trigonometri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1.1

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Langkah 5.3.1.3.1.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Langkah 5.3.1.3.1.3

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Langkah 5.3.1.3.2

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan, nilai fungsinya meningkat tanpa batas.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 5.3.1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 5.3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Langkah 5.3.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Langkah 5.3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Langkah 5.3.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Langkah 5.3.3.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Langkah 5.3.3.5

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Langkah 5.3.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Langkah 5.3.3.6.2

Kalikan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Langkah 5.3.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.8

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.10

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.13

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.14

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.15

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.17

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.18.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.18.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.18.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.18.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.18.1.4

Terapkan identitas pythagoras.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.18.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.3.18.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Langkah 5.3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Langkah 5.3.5

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}}$

Langkah 5.4

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}}$

Langkah 5.5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Langkah 5.5.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sin^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$e^{- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Langkah 5.5.1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Langkah 5.5.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Langkah 5.5.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Langkah 5.5.1.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Langkah 5.5.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 5.5.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{- \frac{0}{0}}$

Langkah 5.5.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 5.5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.4.2

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.4.3

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.4.4

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 5.5.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}}$

Langkah 5.5.4

Bagilah $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Langkah 5.6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$e^{- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

Langkah 5.6.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$e^{- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Langkah 5.7

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{- \sin (2 \cdot 0)}$

Langkah 5.8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$e^{- \sin (0)}$

Langkah 5.8.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$e^{- 0}$

Langkah 5.8.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e^{0}$

Langkah 5.8.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 6

Jika limit satu arah tidak ada, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$