Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\cos (π x) + 1}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + 1}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 1.1.3.1.3

Pindahkan suku $π$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 1.1.3.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Langkah 1.1.3.3.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Langkah 1.1.3.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Langkah 1.1.3.3.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\cos (π x) + 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Langkah 1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + 1]}$

Langkah 1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (π x) + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.7.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.7.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.7.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.7.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.7.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 1.3.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) π + 0}$

Langkah 1.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1

Tambahkan $- \sin (π x) π$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- \sin (π x) π}$

Langkah 1.3.9.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \sin (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{- π \sin (π x)}$

Langkah 2

Karena fungsi mendekati $- \infty$ dari kiri dan $\infty$ dari kanan, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$