Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

Langkah 1

Kalikan untuk merasionalkan pembilangnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perluas pembilangnya menggunakan metode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $x^{6}$ dengan $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 5 x^{3}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{6} - 5 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Langkah 3.1.1.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

Langkah 3.1.1.3

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali $x^{3} (x^{3} - 5)$ sebagai $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan tanda kurung.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

Langkah 3.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Langkah 3.2

Pindahkan suku $- 5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Langkah 4

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{3}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 6

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 6.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 6.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 7.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 7.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Langkah 7.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 7.5

Faktorkan $x$ dari $x^{4} - 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 7.5.2

Faktorkan $x$ dari $- 5 x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 7.5.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 8

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 9

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 11

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 11.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 12

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{3}$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 13.6

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 14

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 15

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 15.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 15.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

Langkah 15.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Bagilah $1 - 5 \cdot 0$ dengan $1$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Langkah 15.4.2

Bagilah $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ dengan $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Langkah 15.4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Langkah 15.4.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Langkah 15.4.3.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Langkah 15.4.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Langkah 15.4.4

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Langkah 15.4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{2}$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{5}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 2.5$