Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.4.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.5.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.2.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 1.1.3.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Langkah 1.1.3.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 1.1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (0)}$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Langkah 1.1.3.5.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.5.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.5.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + x \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.4.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.4.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.5

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 1.3.7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 1.3.8

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 1.3.9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 1.3.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 1.3.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Langkah 1.3.12

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}$

Langkah 1.3.13

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}$

Langkah 1.3.14

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Langkah 1.3.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Langkah 1.3.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Langkah 1.3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.1

Susun kembali $- \sin^{2} (x)$ dan $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Langkah 1.3.17.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \cos (x)$ dan $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.3

Perluas $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.3.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.3.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.3.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.4

Gabungkan suku balikan dalam $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $\cos (x) (- \sin (x))$ dan $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.4.2

Tambahkan $- \cos (x) \sin (x)$ dan $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.4.3

Tambahkan $\cos (x) \cos (x)$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.5.1

Kalikan $\cos (x) \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.5.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.5.1.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.5.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.5.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}$

Langkah 1.3.17.5.3

Kalikan $- \sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.17.5.3.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}$

Langkah 1.3.17.5.3.2

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}$

Langkah 1.3.17.5.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}$

Langkah 1.3.17.5.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Langkah 1.3.17.6

Terapkan identitas sudut ganda kosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 2.4

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 2.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 2.6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Langkah 2.7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Langkah 2.8

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Langkah 3.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 4.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Langkah 4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Langkah 4.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{2}{1}$

Langkah 4.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$