Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Langkah 1

Tulis kembali $(x^{2}) \cot (x^{2})$ sebagai $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 2

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 3

Evaluasi limit kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 3.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 3.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 3.1.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 3.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Terapkan identitas trigonometri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1.1

Tulis kembali $\cot (x^{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Langkah 3.1.1.3.1.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Langkah 3.1.1.3.1.3

Konversikan dari $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ ke $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Langkah 3.1.1.3.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Langkah 3.1.1.3.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Langkah 3.1.1.3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Langkah 3.1.1.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Langkah 3.1.1.3.4.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.3.4.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3.3

Tulis kembali $\cot (x^{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Langkah 3.1.3.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3.5

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.6.1

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3.6.2

Kalikan $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 3.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \sin (x^{2})$ dan $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.8.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.8.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.9

Naikkan $\cos (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.10

Naikkan $\cos (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.14

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.14.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.14.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.14.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.16

Kalikan $\sin (x^{2})$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.17

Naikkan $\sin (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.18

Naikkan $\sin (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.19

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.20

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.21

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.22.1

Faktorkan $2 x$ dari $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.22.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.22.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.22.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.22.2

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.22.3

Terapkan identitas pythagoras.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.3.22.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 3.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Langkah 3.1.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Langkah 3.1.5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Langkah 3.1.6

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Langkah 3.1.6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Langkah 3.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Langkah 3.1.6.2.2

Bagilah $\cos^{2} (x^{2})$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Langkah 3.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $\cos^{2} (x^{2})$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Langkah 3.2.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\cos^{2} (0^{2})$

Langkah 3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Langkah 3.4.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1^{2}$

Langkah 3.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1$

Langkah 4

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 5

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 5.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 5.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 5.1.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Langkah 5.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.1

Terapkan identitas trigonometri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.1.1

Tulis kembali $\cot (x^{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Langkah 5.1.1.3.1.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Langkah 5.1.1.3.1.3

Konversikan dari $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ ke $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Langkah 5.1.1.3.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.2.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Langkah 5.1.1.3.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Langkah 5.1.1.3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Langkah 5.1.1.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Langkah 5.1.1.3.4.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.3.4.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3.3

Tulis kembali $\cot (x^{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Langkah 5.1.3.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3.5

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.6.1

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3.6.2

Kalikan $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Langkah 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.8.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.8.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.9

Naikkan $\cos (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.10

Naikkan $\cos (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.14

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.14.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.14.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.14.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.16

Kalikan $\sin (x^{2})$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.17

Naikkan $\sin (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.18

Naikkan $\sin (x^{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.19

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.20

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.21

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.22.1

Faktorkan $2 x$ dari $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.22.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.22.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.22.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.22.2

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.22.3

Terapkan identitas pythagoras.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.3.22.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Langkah 5.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Langkah 5.1.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Langkah 5.1.5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Langkah 5.1.6

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Langkah 5.1.6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Langkah 5.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Langkah 5.1.6.2.2

Bagilah $\cos^{2} (x^{2})$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Langkah 5.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan pangkat $2$ dari $\cos^{2} (x^{2})$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Langkah 5.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Langkah 5.2.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\cos^{2} (0^{2})$

Langkah 5.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Langkah 5.4.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$1^{2}$

Langkah 5.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1$

Langkah 6

Karena limit kirinya sama dengan limit kanannya, limitnya sama dengan $1$ .

$1$