Kalkulus Contoh

${(3 x + 2)}^{2} e^{5 x} + \sin (3 x)$

Langkah 1

Tulis kembali ${(3 x + 2)}^{2}$ sebagai $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x + 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 2

Perluas $(3 x + 2) (3 x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.1.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.1.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.1.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 3.2

Tambahkan $6 x$ dan $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Langkah 4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 9 x^{2} + 12 x + 4$ dan $g (x) = e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + 12 x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.6

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.8

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.10

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.11

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.12

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.13

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

$5 \cdot (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.14

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.15

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5.16

Tambahkan $18 x + 12$ dan $0$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 6.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Langkah 6.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \cdot 3$

Langkah 6.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x)$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$(5 (9 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $9$ dengan $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $12$ dengan $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4.3

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4.4

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + 12 \cdot e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4.5

Tambahkan $60 x e^{5 x}$ dan $e^{5 x} (18 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.5.1

Pindahkan $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 18 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4.5.2

Tambahkan $60 x e^{5 x}$ dan $18 x e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.4.6

Tambahkan $20 e^{5 x}$ dan $12 e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.5

Susun kembali suku-suku.

$45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Langkah 7.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$